OBMEP 2018: Cinco crianças lançaram, cada uma, dois dados

OBMEP 2018: Cinco crianças lançaram, cada uma, dois dados. A soma dos pontos obtidos nos dez dados foi 57. Quantas crianças, no mínimo, tira...

OBMEP 2018: Cinco crianças lançaram, cada uma, dois dados. A soma dos pontos obtidos nos dez dados foi 57. Quantas crianças, no mínimo, tiraram 6 em ambos os dados?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: Juca colocou algumas bolinhas em uma caixa na qual cabem, no máximo, 100 bolinhas. Artur tirou 1/2 das bolinhas dessa caixa, depois Bernardo tirou 1/3 das restantes, em seguida Carlos tirou 1/4 das que sobraram e, finalmente, Danilo tirou 1/5 das que restaram. Quantas bolinhas ficaram na caixa?

RESOLUÇÃO:

Ao lançar dois dados de cada vez, após cinco lançamentos, obteremos 10 números. Suponha que N desses números sejam 6 e o restante igual ou menor do que 5. Como o total obtido é 57, temos:

57 ≤ N x 6 + (10 – N) x 5 = N + 50,

ou seja, N ≥ 7. Isso pode ser confirmado notando que, se apenas 6 dados resultassem em 6, o maior número que

José poderia ter obtido, no final, seria 6 x 6 + 4 x 5 = 56. Assim, podemos garantir que foram obtidos pelo menos 7 dados com o valor 6.

Suponha agora que em x lançamentos saiu um par de 6, em y lançamentos apenas um 6 e em z lançamentos nenhum 6. Note que x, y e z são inteiros entre 0 e 5, e x + y + z = 5, já que 5 é o total de lançamentos.

O número 6 saiu 2x + 1y + 0z = 2x + y vezes. Devemos ter, portanto, 2x + y ≥ 7, ou seja, 7 – 2x ≤ y. Por outro lado, como y = 5 – x – z ≤ 5 – x, juntando as duas últimas desigualdades, temos 7 – 2x ≤ 5 – x, o que implica x ≥ 2. Devemos ter pelo menos 2 lançamentos com um par de 6.

Para estabelecer 2 como o menor número de lances em que sai um par de 6, devemos exibir uma configuração de pares que some 57, com apenas dois pares de 6. Isso pode ser obtido da seguinte forma:

(6 e 6), (6 e 6), (6 e 5), (6 e 5), (6 e 5).

RESPOSTAS:
B) 2

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2018: Qual é o valor da expressão