OBMEP 2018: Em uma loja, os preços dos produtos terminam sempre em 99 centavos

OBMEP 2018: Em uma loja, os preços dos produtos terminam sempre em 99 centavos. Por exemplo, R$ 0,99, R$ 1,99, R$ 2,99, ... Juca pagou R$ 41,71 por uma compra nessa loja. Quantos produtos Juca comprou?

A) 31
B) 29
C) 21
D) 19
E) 9

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: Paulo tem tintas de quatro cores diferentes. Ele quer pintar cada região da fi gura de uma cor de modo que regiões vizinhas tenham cores diferentes. De quantas maneiras diferentes ele pode fazer isso?

RESOLUÇÃO:

A quantidade de produtos comprada multiplicada por 99 deve ser um número terminado em 71, pois Juca gastou R$ 41,71 na loja. Logo, a quantidade de produtos comprada só pode ser 29, 129, 229, e assim por diante. A única maneira de ter um gasto de R$ 41,71 ocorre com a compra de 29 produtos, pois as demais possibilidades superam esse valor.

Essa ideia, com explicação ligeiramente diferente, é apresentada abaixo:

O preço de qualquer produto da loja é um número inteiro de reais menos um centavo. Por exemplo, R$ 3,99 = R$ 4,00 – R$ 0,01. Logo, para comprar uma certa quantidade de produtos, Juca pagou um número inteiro de reais (isto é, sem incluir centavos) menos a quantidade de produtos comprada multiplicada R$ 0,01. Em outras palavras, se Q é a quantidade de produtos que Juca comprou,

41, 71 + Q x 0,01

deve ser um número inteiro. Logo, 41,00 + 0,71 + Q x 0,01 deve ser um número inteiro e, forçosamente, 0,71 + Q x 0,01 deve ser um número inteiro. Logo, Q só pode ser 29, 129, 229 e assim por diante. Se Juca tivesse comprado 129 ou mais produtos, ele teria gasto, pelo menos, 129 x R$ 0,99 = R$ 127,71. Portanto, Juca comprou exatamente 29 produtos.

Observe que há várias maneiras de Juca ter comprado os 29 produtos; por exemplo, ele poderia ter comprado 28 produtos por R$ 0, 99 cada mais um produto por R$ 13,99, mas também ele poderia ter comprado 27 produtos por R$ 0,99, mais dois produtos: um custando R$ 1,99 e outro custando R$ 12,99. Em qualquer situação, no total, ele deve ter comprado exatamente 29 produtos.

RESPOSTAS:
B) 29

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2018: Um estacionamento tem 10 vagas, uma ao lado da outra, inicialmente todas livres. Um carro preto e um carro rosa chegam a esse estacionamento. De quantas maneiras diferentes esses carros podem ocupar duas vagas de forma que haja pelo menos uma vaga livre entre eles?