OBMEP 2018: A figura mostra um quadrilátero convexo ABCD de área 1 e pontos P, Q, R e S tais que

OBMEP 2018: A figura mostra um quadrilátero convexo  ABCD  de área 1 e pontos  P ,  Q ,  R  e  S  tais que Qual é a área do quadrilátero ...

OBMEP 2018: A figura mostra um quadrilátero convexo ABCD de área 1 e pontos P, Q, R e S tais que

Qual é a área do quadrilátero PQRS?

A) 1/3
B) 5/9
C) 2/3
D) 7/9
E) 6/7

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: Qual é o maior valor possível para o máximo divisor comum de dois números naturais cujo produto é 6 000?

RESOLUÇÃO:

Vamos calcular a área do quadrilátero PQRS subtraindo da área do quadrilátero ABCD a soma das áreas dos triângulos APS, BQP, CRQ e DSR.

Tomemos inicialmente a diagonal BD do quadrilátero, que o divide em dois triângulos ABD e CDB, como na figura ao lado. Chamemos S’ o ponto médio do segmento AS; assim, AS’ = AD/3.

Como AP = AB/3 e AS’ = AD/3, sabemos, pela recíproca do Teorema de Tales, que o segmento PS’ é paralelo ao segmento BD. Consequentemente, os triângulos APS’ e ABD são semelhantes, a razão de semelhança é 1/3 e, portanto, a razão entre as áreas desses triângulos é 1/9, ou seja,

Sabemos também que S´ é o ponto médio ao segmento AS, portanto,

pois os dois triângulos têm a mesma altura. Comparando as duas últimas igualdades, concluímos que

Da mesma forma, podemos verificar que

Somando os termos das duas últimas igualdades, temos que:

Da mesma forma, podemos verificar que a soma das áreas dos triângulos BPQ e DRS também é igual a

Portanto, a área do quadrilátero PQRS será igual a

RESPOSTA:
B) 5/9

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2018: Observe que na igualdade 360 = 90 + 120 + 150 as parcelas são proporcionais a 3, 4 e 5. De quantas maneiras podemos escrever 360 como a soma de três parcelas inteiras, em ordem crescente, e proporcionais a três números inteiros positivos consecutivos?