OBMEP 2018: De quantas maneiras podemos trocar uma nota de R$ 20,00 por moedas de R$ 0,10 e R$ 0,25?

OBMEP 2018: De quantas maneiras podemos trocar uma nota de R$ 20,00 por moedas de R$ 0,10 e R$ 0,25? A) 21 B) 36 C) 38 D) 41 E) 56 Q...

OBMEP 2018: De quantas maneiras podemos trocar uma nota de R$ 20,00 por moedas de R$ 0,10 e R$ 0,25?

A) 21
B) 36
C) 38
D) 41
E) 56

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: Alice colocou um litro (1000 cm³) de água em uma jarra e mediu o nível da água. Depois ela colocou um objeto maciço de prata na jarra e mediu novamente o nível da água, conforme a fi gura. A massa de um centímetro cúbico de prata é 10,5 gramas. Qual é a massa desse objeto?

RESOLUÇÃO:

Primeira Solução:

Não podemos usar um número ímpar de moedas de 25 centavos, mas podemos usar 0, 2, 4, ... até 80 dessas moedas, e cada escolha gera uma maneira diferente de fazer a troca. Logo, o número de maneiras de trocar R$ 20,00 por moedas de R$ 0,10 e R$ 0,25 é igual à quantidade de números pares entre 0 e 80, incluindo os extremos, ou seja, é 41.

Segunda Solução:

Pensemos no que aconteceria se usássemos moedas com valor R$ 0,05. Precisaríamos de 400 dessas moedas para formar a quantia de R$ 20,00. Podemos trocar duas dessas moedas pela moeda de R$ 0,10 e cinco delas pela moeda de R$ 0,25. Para que consigamos usar apenas as duas moedas (de R$ 0,10 e R$ 0,25), mencionadas no enunciado, devemos realizar todas as trocas possíveis sem sobrar nenhuma moeda de R$ 0,05.

Para que isso seja realizável, a quantidade de moedas de R$ 0,05 convertidas em R$ 0,25, além de múltiplo de 5, também deve ser par, para que sobre uma quantidade par de moedas de R$ 0,05 que devem estar associadas às trocas por moedas de R$ 0,10. Os múltiplos de 5 que são pares e estão entre 0 a 400 (incluindo-os), são: 0,10, 20, 30, ..., 400. Essa lista é composta por 41 números e corresponde aos modos de usarmos as moedas de R$ 0,25 e R$ 0,10 para obtermos a quantia total de R$ 20,00.

RESPOSTA:
D) 41

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2018: Na igualdade (EU)² = MEU, as letras E, M e U representam algarismos não nulos. Nessa expressão, EU é um número de dois algarismos, e MEU é um número de três algarismos. Qual é o valor de M + E + U?