OBMEP 2018: A figura mostra o gráfico da função definida por y = x². O ponto A tem coordenadas

OBMEP 2018: A figura mostra o gráfico da função definida por y = x². O ponto A tem coordenadas (0, p). Qual é o valor de p?

A) 5
B) 5,5
C) 6
D) 6,25
E) 6,5

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: Sabendo-se que

RESOLUÇÃO:

Na figura ao lado, marcamos as ordenadas dos pontos B e C. Observamos agora que

segue que o triângulo BDC é isósceles. Como esse triângulo tem ângulo reto em D, segue também que seus outros dois ângulos, em particular o ângulo em B, medem 45°. O triângulo BEA tem ângulo reto em E e seu ângulo em B mede 45°; logo, ele também é isósceles e, então,

Segue que a ordenada de A é 2+ 4 = 6.

Podemos fazer a mesma pergunta para o caso geral, ilustrado à esquerda; aqui tomamos 𝑎, 𝑏 > 0. Suponhamos que 𝑎 < 𝑏. O argumento procede observando a semelhança dos triângulos BEA e BDC, que nos dá

ou seja

Temos então

e segue que a ordenada de A é 𝑎² + 𝑎𝑏 −𝑎² = 𝑎𝑏. O caso 𝑎 = 𝑏 é trivial e o caso 𝑎 > 𝑏 é análogo ao que acabamos de fazer. O resultado não muda: a ordenada do ponto A é sempre ab.

Outra solução para o caso geral, usando geometria analítica, é observar que a equação da reta BC é dada por