OBMEP 2018: Juca colocou algumas bolinhas em uma caixa na qual cabem, no máximo

OBMEP 2018: Juca colocou algumas bolinhas em uma caixa na qual cabem, no máximo, 100 bolinhas. Artur tirou 1/2 das bolinhas dessa caixa, dep...

OBMEP 2018: Juca colocou algumas bolinhas em uma caixa na qual cabem, no máximo, 100 bolinhas. Artur tirou 1/2 das bolinhas dessa caixa, depois Bernardo tirou 1/3 das restantes, em seguida Carlos tirou 1/4 das que sobraram e, finalmente, Danilo tirou 1/5 das que restaram. Quantas bolinhas ficaram na caixa?

A) 0
B) 3
C) 6
D) 12
E) 24

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: Marcos comprou 21 litros de tinta. Ele usou água para diluir essa tinta até que a quantidade de água acrescentada fosse 30% do total da mistura. Quantos litros de água ele usou?

RESOLUÇÃO:
Seja b a quantidade de bolinhas na caixa. Como Artur tirou metade das bolinhas, restou metade delas na caixa. Logo b deve ser um número par, ou, em outras palavras, 2 está presente na decomposição em fatores primos de b. Das b/2 bolas restantes, Bernardo retirou 1/3 delas, restando, portanto, (b/2) – (1/3) (b/2) = b/3. Assim, como (1/3) de b é um número inteiro, 3 também é um dos fatores da decomposição de b em fatores primos.

Das b/3 bolas restantes, Carlos retirou 1/4 delas; restou, depois disto, (b/3) – (1/4)(b/3) = (1/4) b bolas na caixa e, assim, 4 deve ser fator de b. Das b/4 bolas restantes Danilo retirou (1/5) delas e o que ficou, finalmente, foi (b/4) – (1/5) (b/4) = (1/5) b, o que mostra que também 5 é um fator de b. O único número que tem 3, 4 e 5 como fatores primos e é menor do que 100 é 3 x 4 x 5 = 60. Na caixa, depois de todas as retiradas, sobraram, portanto, (1/5) b = (1/5) 60 = 12 bolinhas.

RESPOSTAS:
D) 12

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2018: Cinco crianças lançaram, cada uma, dois dados. A soma dos pontos obtidos nos dez dados foi 57. Quantas crianças, no mínimo, tiraram 6 em ambos os dados?