OBMEP 2018: Na figura temos um retângulo com área igual a 120 cm², um círculo com área igual

OBMEP 2018: Na figura temos um retângulo com área igual a 120 cm², um círculo com área igual a 81 cm² e um triângulo com área igual a 29 cm². Qual é a diferença entre a soma das áreas das regiões azuis e a área da região vermelha?

A) 68 cm²
B) 55 cm²
C) 35 cm²
D) 29 cm²
E) 10 cm²

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: A professora Elisa aplicou uma prova para cinco alunos. A nota de um deles foi 8,0, e a média das notas dos outros quatro alunos foi 7,0. Qual foi a média das notas desses cinco alunos?

RESOLUÇÃO:

Rotulamos as áreas como na figura ao lado. A soma das áreas das regiões azuis é 𝐴 + 𝐶, e a área da região vermelha é 𝐸. Queremos calcular 𝐴 + 𝐶 − 𝐸. Como 𝐴 + 𝐵 é a área do retângulo, 𝐶 + 𝐷 é a área do triângulo e 𝐵 + 𝐷 +𝐸 é a área do círculo, temos:

𝐴 + 𝐶 − 𝐸 = (𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷) − (𝐵 + 𝐷 + 𝐸) = 120 +29 − 81 = 68 cm².

Outra solução: A diferença pedida pode ser calculada por uma “balança que pesa áreas”, como na Figura 1; nela o prato esquerdo “pesa” 81 cm² (círculo completo) e o prato direito pesa 120 + 29 = 149 cm² (retângulo e triângulo completos); a diferença entre os pesos é 149 −81 = 68 cm². O resultado dessa “pesagem” não muda quando retiramos áreas iguais (partes brancas B e D) dos dois pratos, como na Figura 2. Logo, a diferença entre a soma das áreas azuis e a área vermelha é 68 cm².