OBMEP 2018: Na igualdade abaixo, a, b e c são números inteiros positivos. Qual é o valor de c?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: Maria escolheu um número inteiro. Ela somou a esse número os três números ímpares imediatamente inferiores e os dois números pares imediatamente superiores a ele e obteve 1414 como resultado. Qual é a soma dos algarismos do número que Maria escolheu?

RESOLUÇÃO:

Logo, a = 1, b = 2 e c = 3 satisfazem a expressão do enunciado.

Não há outra solução além de c = 3. Veja uma outra maneira de resolver a questão: De acordo com o enunciado, a, b, c ≥ 1. Como

segue que a = 1. De fato, se a ≥ 2, deveríamos ter

o que não ocorre. Consequentemente,

Basta encontrar b e c tais que

A partir dessa igualdade de frações, concluímos que 7c = 3(bc +1). Como 3 e 7 são números primos, segue que 3 divide c, bem como 7 divide (bc + 1). Portanto, existem dois números naturais positivos 𝑚 e 𝑛 satisfazendo c = 3𝑚 e (bc + 1) = 7𝑛.

Assim, 7𝑛 c = (bc +1)(3𝑚) = 3(bc + 1)𝑚 = 7c 𝑚, o que garante que 𝑚 = 𝑛. Logo, bc +1 = b(3𝑚) + 1 = 7𝑛 = 7 𝑚 e, então, 1= 7𝑚 − 3b𝑚 = 𝑚(7 − 3b). Consequentemente, 𝑚 = 1, pois 𝑚 divide 1 e é positivo. Segue que c = 3𝑚 = 3 e também que b = 2, pois 3b+ 1 = 7.

Observação: Uma fração contínua finita simples é uma expressão da forma

em que 𝑎0 é um número inteiro e 𝑎1, … , 𝑎𝑛 são inteiros positivos.

Todo número racional pode ser expresso na forma de uma fração contínua simples, e toda fração contínua simples é um número racional. A representação como fração contínua não é única. Se 𝑎𝑛 > 1, há apenas duas representações possíveis, porém de “comprimentos” diferentes; por exemplo: