OBMEP 2018: No trapézio ABCD da figura, os lados AB e CD são paralelos e o comprimento

OBMEP 2018: No trapézio  ABCD  da figura, os lados  AB  e  CD  são paralelos e o comprimento de  CD  é o dobro do comprimento de  AB . O pon...

OBMEP 2018: No trapézio ABCD da figura, os lados AB e CD são paralelos e o comprimento de CD é o dobro do comprimento de AB. O ponto P está sobre o lado CD e determina um triângulo ABP com área igual a 17. Qual é a área do trapézio ABCD?

A) 32
B) 34
C) 45
D) 51
E) 68

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: Na igualdade abaixo, a, b e c são números inteiros positivos. Qual é o valor de c?

RESOLUÇÃO:

O trapézio ABCD da figura está dividido em três triângulos, cujas alturas coincidem com a altura do trapézio. Vamos chamar de H a medida dessa altura e lembrar que a área de cada um dos triângulos é a metade do produto do comprimento da base pela altura.

A área do trapézio é a soma das áreas dos triângulos CPB, PAB e PDA, e essa soma é igual a:

Podemos reescrever essa expressão com

Podemos calcular o valor da parcela

pois sabemos ainda que 𝐶𝐷 = 2. 𝐵𝐴; logo,

Como

é a área conhecida do triângulo PAB, então

Portanto, a área do trapézio ABCD é igual a 17 + 34 = 51.

RESPOSTAS:
D) 51

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2018: João tem lápis nas cores verde, amarela e preta e quer colorir o tabuleiro da figura, de modo que.