OBMEP 2018: Os números de 1 a 2018 foram escritos lado a lado, formando uma fila de algarismos

OBMEP 2018: Os números de 1 a 2018 foram escritos lado a lado, formando uma fila de algarismos.

12345678910111213141516....201620172018

Nessa fi la aparecem blocos de diversos tamanhos somente com o algarismo 1. A seguir, vemos destacado um bloco de tamanho três: 12345678910111213…

Qual é o tamanho do maior desses blocos?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: Janaína faz torres com cartões, seguindo o padrão da figura. A primeira torre foi feita com 2 cartões, a segunda com 7, a terceira com 15 e assim por diante. Quantos cartões ela deve acrescentar à décima torre para obter a décima primeira?

RESOLUÇÃO:
A fila de algarismos é construída colocando os números de 1 a 2018 lado a lado e, portanto, os números 1110, 1111 e 1112 são colocados nessa fila lado a lado, formando um bloco com o algarismo 1 de tamanho 7, como mostrado a seguir:

Esse é o maior bloco possível dessa fila com o algarismo 1, pois se existisse um outro bloco com o algarismo 1 de tamanho maior do que sete, esse bloco seria construído com o número 1111, já que a fila termina em 2018, mas o único bloco com o algarismo 1 que contém o número 1111 é o bloco de tamanho sete acima. De fato, para se obter repetições do algarismo 1 de tamanhos oito ou mais, teríamos que usar números com mais de cinco algarismos 1, que não são colocados na fila, pois são maiores do que 2018. Lembre-se de que na fila cada número aparece seguido de seu sucessor. Assim, o tamanho do maior bloco com algarismo 1 que ocorre nessa fila é sete.

RESPOSTAS:
D) 7

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2018: Os seis números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 devem ser colocados nos quadrados de tal forma que eles fi quem em ordem crescente em cada linha (da esquerda para a direita) e em cada coluna (de cima para baixo). De quantas maneiras isso pode ser feito?