OBMEP 2018: Qual é o maior valor possível para o máximo divisor comum de dois números naturais

OBMEP 2018: Qual é o maior valor possível para o máximo divisor comum de dois números naturais cujo produto é 6 000?

A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 60

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: A figura mostra três regiões, a, b e c, determinadas por um quadrado de centro O, e suas circunferências inscrita e circunscrita. Qual das igualdades a seguir é verdadeira?

RESOLUÇÃO:

O MDC de dois números que estão fatorados como produto de primos é o produto dos primos comuns, cada um elevado ao menor expoente que comparece nas fatorações. Denotamos por 𝛼 e 𝛽 os dois números cujo produto é 6000 = 2⁴ × 3 × 5³. Assim, os fatores primos de 𝛼 e 𝛽 são 2,3 ou 5.

O MDC de 𝛼 e 𝛽 será o maior possível, quando os fatores primos estiverem distribuídos de forma mais equânime possível. Em particular, o fator primo 2, que ocorre com expoente par na fatoração de 6000, deve ocorrer com o mesmo expoente nas fatorações de 𝛼 e 𝛽, a saber, a metade do expoente (4 ÷ 2 = 2) que aparece na fatoração de 6000. Para o primo 5, cujo expoente é um número ímpar maior do que 2, devemos maximizar sua ocorrência nas fatorações de 𝛼 e 𝛽. Para isso, subtraímos 1 de seu expoente na fatoração de 6000, ou seja, fazemos 3 – 1 = 2, e depois tomamos a metade (2 ÷ 2 = 1). Assim, para o caso estabelecido no enunciado, a fim de maximizar o MDC entre 𝛼 e 𝛽, devemos ter em suas fatorações o produto 2 × 2 × 5 = 20. Uma possibilidade é 𝛼 = 2 × 2 × 5 × 3 = 60 e 𝛽 = 2 × 2 × 5 × 5 = 100. Assim, o maior valor possível para o MDC entre 𝛼 e 𝛽 é 20.

RESPOSTA:
B) 20

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2018: A figura mostra um quadrilátero convexo ABCD de área 1 e pontos P, Q, R e S tais que