UEL 2018: Considere a fórmula do termo geral de uma sequência finita de números primos

UEL 2018: Considere a fórmula do termo geral de uma sequência finita de números primos, apresentada a seguir, em que αn representa o n-ésimo termo e n corresponde a um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 40.

αn = n² − n + 41

A partir dessas informações, responda aos itens a seguir.

a) Determine o primeiro e o último número primo dessa sequência. Justifique sua resposta, apresentando os cálculos realizados na resolução deste item.

b) Qual a posição do número primo 251 nessa sequência? Justifique sua resposta, apresentando os cálculos realizados na resolução deste item.

Questão anterior:
- UEL 2018: Um professor de Matemática combinou com os alunos que a nota final de cada bimestre seria calculada pela média ponderada das notas de três avaliações, como esquematizado no quadro a seguir.

Conteúdo programático:
Sequências Numéricas: noção de sequência. Números naturais e números inteiros.

Resposta esperada:

a) Utilizando-se a fórmula do termo geral para n = 1, determina-se o primeiro termo da sequência, e para n = 40, determina-se o último termo. Assim, tem-se que:

α1 = 1² − 1 + 41 = 41

α40 = 40² − 40 + 41 = 1601

Portanto, 41 é o primeiro termo da sequência de números primos e 1601 é o último termo dessa sequência.

b) Utilizando-se a fórmula do termo geral com αn = 251, tem-se 251 = n² − n + 41. Resolvendo essa equação, obtém-se o valor de n, que representa a posição do número primo 251 na sequência.

Determinando-se as raízes da equação 251 = n² − n + 41, tem-se que n = 15 ou n = −14.

Como, pelo enunciado, n corresponde a um número natural tal que 1 ≤ n ≤ 40, n = −14 não faz sentido. Portanto, o valor de n para αn = 251 é 15.

Resposta alternativa item b):
Por tentativa, substituindo valores para n na fórmula do termo geral até obter a resposta quando n = 15, isto é,

α15 = 15² − 15 + 41 = 251

Portanto, o valor de n para αn = 251 é 15.

Próxima questão:

- UEL 2018: Considere a equação polinomial a seguir.