OBMEP 2018: Observe que na igualdade 360 = 90 + 120 + 150 as parcelas são proporcionais a 3, 4 e 5

OBMEP 2018: Observe que na igualdade 360 = 90 + 120 + 150 as parcelas são proporcionais a 3, 4 e 5. De quantas maneiras podemos escrever 360 como a soma de três parcelas inteiras, em ordem crescente, e proporcionais a três números inteiros positivos consecutivos?

A) 12
B) 15
C) 20
D) 60
E) 120

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: A figura mostra um quadrilátero convexo ABCD de área 1 e pontos PQR e S tais que

RESOLUÇÃO:
Escrever o número 360 como soma de três parcelas inteiras proporcionais a três inteiros positivos consecutivos significa escrever a equação

360 = 𝑘 ∙ (𝑛 −1) +𝑘 ∙ 𝑛 + 𝑘 ∙ (𝑛 + 1)

em que (𝑛 − 1), 𝑛 e (𝑛 + 1) são os três inteiros positivos consecutivos e 𝑘 é a constante de proporcionalidade. Observe que 𝑘 deve ser um número inteiro não nulo para garantir que as três parcelas 𝑘 ∙ (𝑛 − 1), 𝑘 ∙ 𝑛 e 𝑘 ∙ (𝑛 + 1) sejam inteiras e não nulas. Dividindo ambos os lados da igualdade acima por 𝑘, obtemos


Logo, por ser um número inteiro não nulo, a constante de proporcionalidade 𝑘 deve ser um divisor positivo de 120, mas não pode ser o próprio 120. Se 𝑘 fosse 120, então 𝑛 seria 1 e teríamos:

360 = 120 ∙ (1 −1) +120 ∙ 1 + 120 ∙ (1 + 1) = 0 + 120 +240.

Nessa decomposição de 360 os fatores não são todos positivos, o que é vetado pelo enunciado. Logo,

𝑘 ∈ {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60}

Portanto, é possível escrever o número 360 de 15 maneiras diferentes como a soma de três parcelas inteiras, em ordem crescente, e proporcionais a três inteiros positivos consecutivos.

Observação: o exemplo do enunciado ocorre quando 𝑘 = 30; nesse caso, temos:

𝑛 = 4 e 360 = 30 ∙ (4 −1) + 30 ∙ 4 + 30 ∙ (4 + 1) = 90 + 120 +150.

RESPOSTA:
B) 15

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2018: João tem o estranho hábito de mentir às segundas, terças e quartas. Nos outros dias da semana ele fala a verdade. Todos os dias João diz a Maria se vai mentir ou não no dia seguinte. Em quantos dias da semana João pode dizer: “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”?

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