UEL 2018: Como podemos compreender a dinâmica de transformar números?

UEL 2018: Como podemos compreender a dinâmica de transformar números? Essa pergunta pode ser respondida com o auxílio do conceito de uma fun...

UEL 2018: Como podemos compreender a dinâmica de transformar números? Essa pergunta pode ser respondida com o auxílio do conceito de uma função real. Vejamos um exemplo. Seja f: R → R a função dada por f(x) = x√5+1 − 2x. Se a, b ∈ R são tais que f(a) = b, então diremos que b é descendente de a e também convencionaremos dizer que a é ancestral de b. Por exemplo, 1 é descendente de 0, já que f(0) = 1. Note também que 1 é ancestral de √5 − 1, uma vez que f(1) = √5 − 1.

Com base na função dada, e nessas noções de descendência e ancestralidade, atribua V (verdadeiro) ou F (falso) às afirmativas a seguir.

( ) Todo número real tem descendente.
( ) 2 + √5 é ancestral de 2.
( ) Todo número real tem ao menos dois ancestrais distintos.
( ) Existe um número real que é ancestral dele próprio.
( ) 6 − 2√5 é descendente de 5.

Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequência correta.

a) F, F, F, V, V
b) F, V, F, F, V
c) V, V, F, V, F
d) V, V, V, F, V
e) V, F, V, V, F

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Conteúdo programático:
Funções, Equações e Inequações: domínio, contra-domínio, imagem. Função injetora, sobrejetora e bijetora. Função afim.

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Resolução:
I. Verdadeira. Se x ∈ R, e como a domínio da função da função é R, então f(x) é descendente de x. Logo, todo número real tem descendente.

II. Verdadeira. Note que f(2+√5) = (2+√5)√5+1−2(2+√5) = 2√5+5+1−4−2√5 = 5 + 1 − 4 = 2. Logo, 2 + √5 é ancestral de 2.

III. Falsa. Se x e y são ancestrais do mesmo número, então f(x) = f(y). Logo x√5+1 − 2x = y√5 + 1 − 2y. Consequentemente, x√5 − 2x = y√5 − 2y. Portanto, x(√5 − 2) = y(√5 − 2). Por fim, concluímos que x = y. Consequentemente, se um número admite dois ancestrais, então eles devem ser iguais, e não distintos.

IV. Verdadeira. Observe que procurar um número que é ancestral dele próprio é equivalente a encontrar um número real x tal que f(x) = x. Logo x√5 + 1 − 2x = x. Manuseando a equação, obtemos que x√5 − 2x − x = −1. Logo x(√5 − 3) = −1. Resolvendo essa equação de primeiro grau, obtemos que (3 − √5)¯¹ é ancestral dele próprio.

V. Falsa. Observe que o descendente de 5 é f(5) = 5√5+1 − 10 = 5√5 − 9 ≠ 6 − 2√5.

Resposta:
c) V, V, F, V, F

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