UEL 2018: Considere a equação polinomial a seguir

UEL 2018: Considere a equação polinomial a seguir.

2x³ − 15x² + 34x − 24 = 0

Sabe-se que cada uma das raízes dessa equação corresponde a uma das medidas, em cm, do comprimento, da largura e da altura de um paralelepípedo retângulo.

Com base nessa informação, determine a área total e o volume desse paralelepípedo. Justifique sua resposta, apresentando os cálculos realizados na resolução desta questão.

Questão anterior:
- UEL 2018: Considere a fórmula do termo geral de uma sequência finita de números primos, apresentada a seguir, em que αn representa o n-ésimo termo e n corresponde a um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 40.

Conteúdo programático:
Equações algébricas: multiplicidade de raízes. Relações entre coeficientes e raízes. Geometria Espacial: cálculo de áreas e volumes.

Resposta esperada:

Primeiramente, deve-se resolver a equação 2x³ − 15x² + 34x − 24 = 0.
Sabe-se que, se um número racional

é raiz dessa equação, então p é divisor de −24 e q é divisor de 2.

Se p é divisor de −24, então p ∈ {−24, −12, −8, −6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Se q é divisor de 2 então q ∈ {−2, −1, 2, 1}.
Assim,

Considerando também que as raízes da equação, de acordo com o contexto apresentado no enunciado, devem ser números positivos,

Desse modo, substituindo esses valores, um a um, no polinômio P(x) = 2x³ − 15x² + 34x − 24, tem-se que P(2) = 0, P(4) = 0 e

Logo, as raízes são 2, 4 e

Portanto, as medidas de comprimento, largura e altura do paralelepípedo são: 4 cm, 2 cm e 1,5 cm.

A área total At de um paralelepípedo retângulo é dada pela fórmula At = 2(ab + ac + bc) e o volume V de um paralelepípedo retângulo é dado pela fórmula V = abc em que a, b e c correspondem às medidas de comprimento, largura e altura do paralelepípedo. Assim, tem-se:

At = 2(ab + ac + bc) = 2(4 · 2 + 4 · 1, 5 + 2 · 1, 5) = 34 e V = abc = 4 · 2 · 1, 5 = 12.

Portanto, a área total é de 34 cm² e o volume é de 12 cm³.

Resolução alternativa 1:
Para a resolução da equação, podem ser utilizadas as relações de Girard, isto é, considerando a equação ax³ + bx² + cx + d = 0, com α ≠ 0, tem-se as seguintes relações entre as raízes x1, x2 e x3 da equação e os coeficientes a, b, c e d:

Como a área do paralelepípedo de dimensões x1, x2 e x3 é dada por:

Por outro lado, o volume do paralelepípedo é dado por:

Portanto, a área total é de 34 cm² e o volume é de 12 cm³.

Resolução alternativa 2:
Se 2 é raiz de P(x), então P(x) é divisível por (x − 2).
Do mesmo modo, se 4 é raiz de P(x), então P(x) é divisível por (x − 4).
Se P(x) é divisível por (x−2) e por (x−4), então P(x) é divisível pelo produto (x−2)(x−4) que é igual a (x²−6x+8). Realizando a divisão de P(x) por (x² − 6x + 8), obtém-se P(x) = 2x³ − 15x² + 34x − 24 = (x² − 6x + 8)(2x − 3). Se P(x) for escrito na forma fatorada, evidenciam-se suas raízes, 2 e 4, pois x²−6x+8 = (x−2)(x−4), e, colocando-se 2 em evidência na expressão (2x − 3), para obter a forma fatorada de P(x), tendo em vista que 2 é o coeficiente do x de maior grau de P(x), tem-se: