(PUC-SP 2019) Dado um conjunto universo U e um subconjunto X ⊂ U, seja Xᶜ o complementar de X

(PUC-SP 2019) Dado um conjunto universo U e um subconjunto X ⊂ U, seja Xᶜ o complementar de X, em relação ao conjunto universo. Considere o conjunto universo U, definido como o conjunto dos números inteiros positivos, cuja soma dos algarismos seja igual a 5.

Seja X ⊂ U o conjunto dos números com mais de 4 algarismos. Seja A ⊂ U o conjunto dos números com, no máximo, um algarismo 1; por exemplo, o número 122 pertence ao conjunto A, mas o número 11111 não pertence.

Nessas condições, o número de elementos do conjunto Xᶜ ⊂ A é igual a:

A) 8
B) 16
C) 24
D) 40

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RESOLUÇÃO:

1) U é formado por todos os números cuja soma dos algarismos é 5. A ⊂ U é formado por números com no máximo um algarismo 1 e com algarismos cuja soma é 5. Se X ⊂ U é formado por números com mais de 4 algarismos, então Xᶜ ⊂ U é formado por números com, no máximo, quatro algarismos. Como Xᶜ ⊂ A ⊂ U, Xᶜ é formado por números cuja soma dos algarismos é 5, possuindo, no máximo, quatro algarismos, dos quais, no máximo, um algarismo é 1.

2) Consideremos quatro posições (unidades, dezenas, centenas e milhares) e vamos preenchê-las com algarismos cuja soma é 5. Casas não preenchidas serão completadas com zero. 2.1) Usando um algarismo 5 existem 4 possibilidades (5, 50, 500 e 5000).

2.2) Usando com algarismos 1 e um algarismo 4 existem A4;2 = 12 possibilidades. Por exemplo, 14, 41, 104; 1004; …; 4001.

2.3) Usando um algarismo 2 e um algarismo 3 existem A4;2 = 12 possibilidades. Por exemplo, 23, 32, 203, 2003, …; 3002. 2.4) Usando um algarismo 1 e dois algarimos 2 existem