ITA 2019: Determine os valores reais de a e b para os quais as equações x³ + ax² + 18 = 0 e x³ + bx + 12 = 0

ITA 2019: Determine os valores reais de  a  e  b  para os quais as equações x³ + ax² + 18 = 0 e x³ + bx + 12 = 0 possuam duas raízes em comu...

ITA 2019: Determine os valores reais de a e b para os quais as equações x³ + ax² + 18 = 0 e x³ + bx + 12 = 0 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes.

QUESTÃO ANTERIOR:
- ITA 2019: Considere a reação genérica 2A(g) ⇆ B(g). No instante inicial, apenas o reagente A está presente. Sabendo que a reação direta é exotérmica, construa os gráficos de concentração de cada substância em função do tempo de reação para as seguintes condições

RESOLUÇÃO:

1) Sejam r e s as raízes comuns às duas equações.
Seja p a terceira raiz da equação x³ + ax² + 18 = 0 e q a terceira raiz da equação x³ + bx + 12 = 0.

2) Pelas relações de Girard, temos:


Assim,


Substituindo nas primeiras relações de Girard, temos


Desta forma, – 3a é uma das raízes da primeira equação dada.

3) (– 3a)³ + a . (– 3a)² + 18 = 0 ⇔ – 18a³ = – 18 ⇔ a³ = 1 ⇔ a = 1, pois a ∈ R.

Substituindo resulta p = – 3 e q = – 2
Além disso, r + s + (– 3) = – 1 ⇒ r + s = 2 ⇔ s = 2 – r
r . s . (– 3) = – 18 ⇔ rs = 6 e
b = rs + q (r + s) = 6 + (– 2) . 2 ⇒ b = 2

Desta forma, r(2 – r) = 6 ⇔ r2 – 2r + 6 = 0 ⇔

⇔ r = 1 ± √5i
Para r = 1 + √5i ⇔ s = 1 – √5i e para r = 1 – √5i ⇔ s = 1 + √5i

GABARITO:
a = 1, b = 2 e as raízes comuns são 1 + √5 i e 1 – √5 i

PRÓXIMA QUESTÃO:
- ITA 2019: Determine todas as soluções da equação sen⁶x + cos⁶x =