ITA 2020: Seja H o hexágono no plano de Argand-Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio

ITA 2020: Seja H o hexágono no plano de Argand-Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio p k (x) = (x – √3)⁶ + 64. Determine z ∈ ∁ sab...

ITA 2020: Seja H o hexágono no plano de Argand-Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio pk(x) = (x – √3)⁶ + 64. Determine z ∈ ∁ sabendo que o conjunto M = {zx ∈ ∁: x ∈ H} é o hexágono que possui υ1 = –1 + √3i, υ2 = 1 – √3i e υ3 = 5 – √3i como três vértices consecutivos.

QUESTÃO ANTERIOR:
- ITA 2020: Seja z ∈ ∁ uma raiz da equação 4z² – 4z sen α + 1 = 0, para α ∈

RESPOSTA:
As raízes de p(x) são:
(x – √3)6 + 64 = 0
(x – √3)6 = – 64
Os valores de x – √3 são as raízes de – 64.
Escrevendo na forma polar, temos:

(x – √3)² = 64 . [cos 180° + i sen 180°]

Os valores x1, x2, x3, x4, x5, x6 são vértices de um hexágono regular de lado 2.

x1 – √3 = 2 . [cos 30° + i sen 30°] x1 = 2√3 + 1i
x2 – √3 = 2 . [cos 90° + i sen 90°] x2 = √3 + 2i
x3 – √3 = 2 . [cos 150° + i sen 150°] x3 = 0 + 1i
x4 – √3 = 2 . [cos 210° + i sen 210°] x4 = 0 – 1i
x5 – √3 = 2 . [cos 270° + i sen 270°] x5 = √3 – 2i

Representando os vértices no plano de Argand-Gauss, temos:

No Δ OBP da figura, temos:



PÔB = 60°

Como os dois hexágonos têm um ponto de encontro na origem e os eixos são perpendiculares, o ângulo de rotação será dado por:

180° – 90° – 60° = 30°

Sabendo que o segundo hexágono possui lado 4, os valores de z precisam ter módulo igual a 2.
Assim, o valor de z que satisfaz as condições é:

z = ρ . [cos θ + i sen θ]
z = 2 . [cos 30° + i sen 30°]
z = √3 + i

PRÓXIMA QUESTÃO:
- ITA 2020: Considere a circunferência λ de centro O passando por um ponto A. Sejam B um ponto tal que A é o ponto médio de

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Prova ITA 2020 (2ª Fase) com Gabarito e Resoluções