Em um mundo predominantemente masculino, mulheres foram, sistematicamente, impedidas de fazer

Em um mundo predominantemente masculino, mulheres foram, sistematicamente, impedidas de fazer

UEL 2022 / QUESTÃO 02

Leia o texto a seguir.

Em um mundo predominantemente masculino, mulheres foram, sistematicamente, impedidas de fazer parte do universo da pesquisa. Sem jamais ter perdido a esperança, último dos predicados da Caixa de Pandora, a matemática Sophie Germain (1776-1831) lutava e sofria com tais preconceitos, chegando, até mesmo, a apresentar-se com o pseudônimo masculino Monsier Le Blanc.

Adaptado de: FLOOD, Raymond e WILSON, Robin. Os grandes matemáticos.

São Paulo: M. Books do Brasil, 2013. p.126

Sophie Germain é conhecida por provar, matematicamente, que se x, y, z, n são inteiros positivos e satisfazem às seguintes condições simultaneamente

i) x, y, z são diferentes de 0;

ii) mdc(x, y) = mdc(y, z) = mdc(z, x) = 1;

iii) n é um número primo maior que 2;

iv) 2n + 1 é um número primo;

v) x · y · z não é múltiplo de n,

então xⁿ + yⁿ 6 ≠ zⁿ. Por outro lado, se x, y, z, n não satisfazem simultaneamente as condições dadas, deve-se checar, por outro método, se xⁿ + yⁿ 6 ≠ zⁿ ou xⁿ + yⁿ = zⁿ.

Com base no enunciado e nos conhecimentos matemáticos, atribua V (verdadeiro) ou F (falso) às afirmativas a seguir.

( ) 1¹¹ + 23¹¹ = 24¹¹

( ) 3² + 4² = 5²

( ) 67⁵ + 71⁵ 6 ≠ 79⁵

( ) {n ∈ N tal que n é um número primo} ⊂ {n ∈ N tal que 2n + 1 é um número primo}

( ) {n ∈ N tal que n é um número primo} ∩ {n ∈ N tal que 2n + 1 é um número primo} 6 ≠ ∅

Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequência correta.

a) V, V, F, V, F.

b) V, F, F, F, V.

c) F, V, V, F, V.

d) F, V, F, V, V.

e) F, F, V, F, V.

QUESTÃO ANTERIOR:

- Marie Curie (1867 - Polônia) foi uma cientista que dedicou a vida aos estudos da radioatividade.

GABARITO:

c) F, V, V, F, V.

RESOLUÇÃO:

I. Falso. Observe que x = 1, y = 23, z = 24 e n = 11 são inteiros positivos. Além disso, temos que x, y, z são diferentes de 0. Ademais, mdc(x, y) = mdc(y, z) = mdc(z, x) = 1. Verifica-se, também, que n é um número primo maior que 2 e que 2n + 1 = 23 também é um número primo. Além disso 1 · 23 · 24 não é múltiplo de 11. Consequentemente, x, y, z, n atendem às condições exigidas pelo enunciado de Sophie Germain. Assim, xⁿ + yⁿ 6= zⁿ. O que permite concluir que 1¹¹ + 2311 6 ≠ 24¹¹.

II. Verdadeiro. Observe que x = 3, y = 4, z = 5 e n = 2 são inteiros positivos. Além disso, temos que x, y, z são diferentes de 0. Ademais, mdc(x, y) = mdc(y, z) = mdc(z, x) = 1. Por outro lado, n é um número primo igual a 2 e, além disso, 3 · 4 · 5 é múltiplo de 2. Neste caso, as condições exigidas pelo enunciado de Sophie Germain não são atendidas simultaneamente. Portanto, deve-se checar por outro método, se xⁿ + yⁿ 6 ≠ zⁿ ou xⁿ + yⁿ = zⁿ. Neste caso, observa-se a conhecida terna pitagórica 3, 4 e 5. Em outras palavras, 3² + 42 = 9 + 16 = 25 = 5².

III. Verdadeiro. Observe que x = 67, y = 71, z = 79 e n = 5 são inteiros positivos. Além disso, temos que x,y,z são diferentes de 0. Ademais, mdc(x, y) = mdc(y, z) = mdc(z, x) = 1. Verifica-se, também, que n é um número primo maior que 2 e que 2n + 1 = 11 também é um número primo. Além disso 67 · 71 · 79 não é múltiplo de 5. Consequentemente, x,y,z,n atendem às condições exigidas pelo enunciado de Sophie Germain. Assim, xⁿ + yⁿ 6= zⁿ. O que permite concluir que, de fato, 67⁵ + 71⁵ 6 ≠ 79⁵.

IV. Falso. Observe que 7 pertence ao conjunto {n ∈ N tal que n é um número primo}, pois 7 é primo. Todavia, 7 não pertence ao conjunto {n ∈ N tal que 2n + 1 é um número primo}, pois 2 × 7 + 1 = 15 não é um número primo.

V. Verdadeiro. Observe que 5 pertence ao conjunto {n ∈ N tal que n é um número primo}, pois 5 é primo. Além disso, 5 pertence ao conjunto {n ∈ N tal que 2n + 1 é um número primo}, pois 2 × 5 + 1 = 11, que é um número primo. Logo 5 pertence à intersecção dos dois conjuntos.

PRÓXIMA QUESTÃO:

- A pesquisadora Neiva Guedes desenvolve, desde a década de 1980, um projeto que promove ações de conservação para o aumento da população de araras azuis (Anodorhynchus hyacinthinus) no Pantanal.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Prova UEL 2022 com Gabarito e Resolução