A figura abaixo mostra um tabuleiro 5 x 5 formado por 25 quadrados pretos ou brancos

OBMEP 2022 - QUESTÃO 16

A figura abaixo mostra um tabuleiro 5 x 5 formado por 25 quadrados pretos ou brancos. Observe que esse tabuleiro não se altera quando girado de 90º. Quantos tabuleiros 5 x 5 formados por quadrados pretos ou brancos não se alteram quando girados de 90°?

(A) 25

(B) 30

(D) 128

(E) 192

QUESTÃO ANTERIOR:

- Os nove pontos da figura estão igualmente espaçados na circunferência. Maria quer pintar alguns desses pontos de tal forma que não exista triângulo equilátero cujos vértices estejam todos pintados. Qual é o maior número de pontos que ela pode pintar?

GABARITO:

(D) 128

RESOLUÇÃO:

O mosaico da figura do enunciado pode ser obtido girando-se, em torno do ladrilho central, o bloco 2 x 3 formado pelos primeiros três ladrilhos das duas primeiras linhas, mais o ladrilho central.

Na verdade, qualquer mosaico de ladrilhos pretos e brancos que apresenta simetria rotacional de 90º tem essa propriedade, ou seja, é obtido a partir de sete ladrilhos: seis do bloco 2⁷ x 3 formado pelos três primeiros ladrilhos das duas primeiras linhas e mais o ladrilho central.

Como cada ladrilho pode ser preto ou branco, temos 2⁷ = 128 maneiras distintas de escolher sete ladrilhos para obter um mosaico 5 x 5 que apresenta simetria rotacional de 90º.

Logo, a quantidade de mosaicos 5 x 5 que apresentam simetria rotacional de 90º é igual a 2⁷ = 128. Observe que, dentre essas possibilidades, aparecem o tabuleiro todo branco e o tabuleiro todo preto: eles também têm simetria rotacional de 90º.

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Cinco jogadores disputam um torneio de tênis de mesa de modo que cada jogador enfrenta todos os outros exatamente uma vez. Nessas partidas não há empates. Em cada partida, os dois jogadores têm a mesma probabilidade de ganhar, e o resultado de uma partida não influencia o resultado das demais.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas OBMEP 2022 com Gabarito e Resolução