Um professor de educação física precisou escolher, dentre seus alunos, uma equipe formada por dois meninos

OBMEP 2022 - QUESTÃO 08

Um professor de educação física precisou escolher, dentre seus alunos, uma equipe formada por dois meninos e uma menina ou por duas meninas e um menino. Ele observou que poderia fazer essa escolha de 25 maneiras diferentes.

Quantos meninos e meninas são alunos desse professor?

(A) 5

(B) 7

(D) 10

(E) 25

QUESTÃO ANTERIOR:

- Laura colou 27 cubinhos, alguns brancos e outros cinzentos, formando um cubo maior. A figura mostra duas vistas desse cubo, ambas com a mesma face em contato com a mesa.

GABARITO:

(B) 7

RESOLUÇÃO:

Sejam x e y as quantidades de meninos e meninas. Claramente devemos ter x, y ≥ 1 e pelo menos uma das duas quantidades maior do que 2, pois, caso contrário, não seria possível formar as equipes. Em uma equipe formada por dois meninos e uma menina, temos x opções de escolhas do primeiro menino, x — 1 opções de escolhas para o segundo menino e y opções de escolhas para a menina. Entretanto, nessas escolhas, contamos duas vezes cada dupla de meninos, pois a troca de ordem entre eles gera a mesma equipe.

Assim, o total de equipes nessa situação é

De modo semelhante, o total de equipes com duas meninas e um menino é

Portanto,

50 = xy(x — 1) + xy(y — 1) = xy(x + y —2)

Consequentemente, x, y e x + y — 2 são divisores de 50.

Se x = 1 ou y = 1, um deles deve ser solução da equação z(z — 1) = 50, que não possui raízes inteiras. Portanto, x,y ≥ 2 e, assim, x + y -2 ≥ x e x + y - 2 ≥ y. Como 50 = 2 x 5²,temos apenas as seguintes possibilidades:

(x, y, x + y —2) = (2,5,5) ou (, y, x + y —2) =(5,2,5)

Em ambos os casos, a quantidade de alunos é x + y = 7.

A título de ilustração, vamos admitir que a turma fosse formada por dois homens H1 e H2 e por cinco mulheres M1, M2, M3, M4 e M5. Nesse caso, as 25 diferentes equipes são as seguintes: