UNICAMP 2018 - A figura abaixo exibe um triângulo com lados de comprimentos

UNICAMP 2018 - 2ª fase - 2º Dia - Questão 17 - Matemática 17. A figura abaixo exibe um triângulo com lados de comprimentos 𝑎, 𝑏 e 𝑐 e...

UNICAMP 2018 - 2ª fase - 2º Dia - Questão 17 - Matemática

17. A figura abaixo exibe um triângulo com lados de comprimentos 𝑎, 𝑏 e 𝑐 e ângulos internos 𝜃, 2𝜃 e 𝛽.

a) Supondo que o triângulo seja isósceles, determine todos os valores possíveis para o ângulo 𝜃.

b) Prove que, se 𝑐 = 2𝑎, então 𝛽 = 90𝑜.

Questão anterior:
- A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, um quadrilátero com vértices situados nos pontos de coordenadas 𝐴 = (−5,0), 𝐵 = (5,0), 𝐶 = (4,3) e 𝐷 = (−3,4).

Resolução:
a) Como todo triângulo isósceles é isoângulo, podemos ter:

Logo, os possíveis valores de θ são 36° e 45°.

b) Pela lei dos senos:

Para c = 2a, resulta:

Pela lei dos cossenos, tem-se:
a² = b² + c² – 2bc cos θ ⇔ a² = b² + c² – 2b . b ⇔ a² + b² = c² e, portanto, o triângulo é retângulo de hipotenusa medindo “c”.
Assim, o ângulo β = 90°.

Resposta:
a) (β = 45° e θ = 45°) ou (β = 72° e θ = 36°)
b) Demonstração

Próxima questão:
- Sabendo que 𝑝 e 𝑞 são números reais, considere as matrizes.