OBMEP 2018: Gabriel brinca com números de dois ou mais algarismos

OBMEP 2018: Gabriel brinca com números de dois ou mais algarismos. Ele substitui os dois primeiros algarismos à esquerda do número pela soma desses algarismos, e repete esse procedimento até obter um número de um algarismo. Por exemplo, partindo do número 2018 ele obtém o número 2, pois 2018 → 218 → 38 → 11 → 2. Quantos são os números de três algarismos a partir dos quais Gabriel pode obter o número 1?

A) 9
B) 10
C) 56
D) 80
E) 100

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: João tem o estranho hábito de mentir às segundas, terças e quartas. Nos outros dias da semana ele fala a verdade. Todos os dias João diz a Maria se vai mentir ou não no dia seguinte. Em quantos dias da semana João pode dizer: “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”?

RESOLUÇÃO:

Os números que Gabriel pode obter nessa brincadeira são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, já que ele nunca vai obter o número 0. Um fato interessante é que, se Gabriel parte de um número 𝑛 qualquer e obtém o número 1, partindo do 𝑛 + 1, ele irá obter o 2, partindo do 𝑛 + 2, o 3, e assim por diante, voltando a obter o número 1 novamente a partir do 𝑛 +9. A tabela abaixo ilustra esse fato com os números de três algarismos.

Observe que em cada uma dessas sequências a soma dos algarismos dos números que aparecem deixa sempre o mesmo resto quando divido por 9. O critério de divisibilidade por 9 afirma isto: por exemplo, se um número de três algarismos tem a forma abc, então ele pode ser escrito como 100 a + 10 b + c, ou também como 99 a + 9 b + a + b + c. Como 99 e 9 são múltiplos de 9, eles deixam resto 0 quando divididos por 9; logo, abc e a + b + c têm o mesmo resto na divisão por 9.

Partindo de números com três algarismos, isto é, começando de 100 e somando o número 9 sucessivas vezes, obtemos uma progressão aritmética cujo termo geral é 100 +9 ∙ (𝑘 −1). Os números dessa progressão aritmética vão sempre terminar em 1 na brincadeira de Gabriel, sendo o último deles o número 991. Resolvendo a equação 100 + 9 ∙ (𝑘 − 1) = 991, vamos encontrar 𝑘 = 100, que é a quantidade de números de três algarismos a partir dos quais Gabriel pode obter o número 1.

Outra forma de se obter esse resultado é observar que entre 100 e 999 existem 900 números e com