OBMEP 2018: João tem o estranho hábito de mentir às segundas, terças e quartas

OBMEP 2018: João tem o estranho hábito de mentir às segundas, terças e quartas. Nos outros dias da semana ele fala a verdade. Todos os dias ...
OBMEP 2018: João tem o estranho hábito de mentir às segundas, terças e quartas. Nos outros dias da semana ele fala a verdade. Todos os dias João diz a Maria se vai mentir ou não no dia seguinte. Em quantos dias da semana João pode dizer: “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: Observe que na igualdade 360 = 90 + 120 + 150 as parcelas são proporcionais a 3, 4 e 5. De quantas maneiras podemos escrever 360 como a soma de três parcelas inteiras, em ordem crescente, e proporcionais a três números inteiros positivos consecutivos?

RESOLUÇÃO:
Na tabela a seguir V significa que João fala a verdade no respectivo dia da semana, e M significa que ele mente nesse dia.
Consideramos duas situações, levando em conta que tipo de dia João fala a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”.

a) A frase é dita num dia X em que João fala a verdade. Nesse caso, no dia anterior ele teria que ter mentido e, de acordo com a tabela, o único dia possível seria o X = quinta-feira.

b) A frase é dita num dia X que João mente. Vamos admitir que hoje ele tenha dito: “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”. Como ele está em um dia no qual ele só mente, esta frase deve obrigatoriamente ser falsa, assim sendo, sua negação: “Ontem eu disse a Maria que não mentiria hoje” ou equivalentemente “Ontem eu disse a Maria que falaria a verdade hoje” deve ser obrigatoriamente verdadeira e, de fato, no dia anterior ele disse a Maria que falaria a verdade hoje. Podemos afirmar isto com certeza pois, pelo enunciado, ele emite sua opinião acerca do que vai acontecer no dia seguinte em todos os dias da semana.

Analisemos agora o que pode ter acontecido no dia anterior:

b1) No dia anterior João falou a verdade; nesse caso, como ele disse a Maria que falaria a verdade hoje, isso deve ser verdadeiro. Logo, hoje João deveria ter falado a verdade. Isso é uma contradição, pois estamos no caso b).

b2) No dia anterior João mentiu e, como afirmou que no dia seguinte falaria a verdade, no dia seguinte, de fato, ele deve ter mentido. Aqui não há contradição e este caso pode ter ocorrido.

Disso podemos concluir que, se João disser a frase: “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” em um dia da semana em que ele mente, então, no dia anterior a esse dia ele também deveria ter mentido. Isso só é possível na terça e na quarta.

Conclusão: João só pode ter dito a frase do enunciado em três dias da semana: na terça, na quarta ou na quinta-feira, justamente os dias seguintes aos dias em que ele mentiu.

Segunda solução:
Vamos determinar em que dias da semana ele pode ter dito a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”. Indiquemos, como antes, por V um dia em que ele fala a verdade e por M um dia em que mente. Para isso, analisemos dois dias consecutivos. Eles podem ser do tipo VV, como quinta e sexta, VM, como domingo e segunda, MV, como quarta e quinta, ou MM, como segunda e terça.

Par de dias VV
Nesse caso, no primeiro dia João diz que falará a verdade no dia seguinte, já que é um dia de contar a verdade. No dia seguinte, como ele fala a verdade, repete a afirmação do dia anterior. Portanto, a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” não pode ter sido dita em um dia V depois de um dia V.

Par de dias VM 
No primeiro dia, um dia de falar a verdade, João dirá “amanhã vou mentir”, pois o dia seguinte é um dia do tipo M. Porém, no dia seguinte ele dirá uma mentira, portanto, dirá “ontem eu disse que iria dizer a verdade hoje”. Assim, a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” não pode ter sido dita em um dia M depois de um dia V.

Par de dias MM
No primeiro dia João dirá, “amanhã vou falar a verdade”, já que ele mente e o dia seguinte é um dia que ele também mente. No dia seguinte ele mente mais uma vez, dizendo “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”. Portanto, a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” pode ter sido dita em um dia de mentir que segue um dia de mentir.

Par de dias MV
No primeiro dia João dirá uma mentira, que nesse caso é “amanhã vou mentir”, já que o dia seguinte seria um dia de dizer a verdade. No dia seguinte ele diz, portanto, “ontem eu disse que mentiria hoje”, pois fala a verdade neste dia. Assim, a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” pode ter sido dita em um dia em que João mente, seguido de um dia em que João diz a verdade.

Conclusão: a frase de João pode ter sido dita em qualquer dia que segue um dia em que João mente. Analisando a tabela, vemos que isso ocorre terça, quarta e quinta. Assim, João pode ter dito a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” apenas nesses três dias.

RESPOSTA:
C) 3

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2018: Gabriel brinca com números de dois ou mais algarismos. Ele substitui os dois primeiros algarismos à esquerda do número pela soma desses algarismos, e repete esse procedimento até obter um número de um algarismo. Por exemplo, partindo do número 2018 ele obtém o número 2, pois 2018 → 218 → 38 → 11 → 2. Quantos são os números de três algarismos a partir dos quais Gabriel pode obter o número 1?

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ciências,765,questão de ciências biológicas,74,questão de ciências contábeis,196,questão de ciências da computação,127,questão de ciências da saúde,20,questão de ciências econômicas,200,questão de ciências humanas,219,questão de ciências naturais,249,questão de ciências sociais,123,questão de cirurgia cardiovascular,30,questão de código de defesa do consumidor,10,questão de computação,57,questão de concurso,9714,questão de conhecimento geral,15,questão de contabilidade,499,questão de contabilidade do setor publico,5,questão de controle externo,6,questão de criminologia,5,questão de defesa do consumidor,10,questão de design,116,questão de design de interiores,27,questão de design de moda,80,questão de dietética,40,questão de direito,3783,questão de direito administrativo,317,questão de direito administrativo e constitucional,10,questão de direito ambiental,21,questão de direito civil,233,questão de direito constitucional,289,questão de direito da criança e do adolescente,5,questão de 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gestão e tecnologia da informação,30,questão de tecnologia em redes de computadores,83,questão de terapia ocupacional,204,questão de turismo,110,questão de vestibular,29861,questão de zootecnia,132,questão design de interiores,26,questão design gráfico,52,questão detran,96,questão do cefetmg,1816,questão do cfc,592,questão do enade,8391,questão do enare,50,questão do encceja,1110,questão do enem,3547,questão do ibfc,100,questão do ifba,62,questão do iff,53,questão do ifnmg,26,questão do ifpi,1167,questão do ime,40,questão do ita,554,questão do liceu piauiense,30,questão do mackenzie,1526,questão do revalida,791,questão economia empresarial,29,questão engenharia,72,questão engenharia ambiental,82,questão engenharia civil,27,questão engenharia de alimentos,73,questão engenharia de controle e automacao,73,questão engenharia eletrica,73,questão engenharia florestal,82,questão engenharia mecânica,72,questão engenharia quimica,44,questão espm,239,questão faculdade dinamica,108,questão fadip,54,questão fagoc,50,questão famerp,700,questão faseh,60,questão fdsbc,100,questão fei,210,questão fiscal,40,questão fmj,120,questão fmo,90,questão funcern,240,questão fundatec,149,questão gastronomia,53,questão gestao comercial,53,questão gestão da produção,27,questão gestão de qualidade,54,questão gestão pública,53,questão iades,60,questão iave,89,questão ibade,107,questão ibest,40,questão ibfc,320,questão idib,40,questão ieses,190,questão ifce,90,questão ifmg,126,questão ifmt,110,questão ifsul,357,questão ifto,361,questão italiano,8,questão letras,65,questão lógica,5,questão logística,54,questão máxima,50,questão modelagem de processos,11,questão multidisciplinar,68,questão nucepe,46,questão objetiva,20,questão obras e postura,28,questão princípios gerenciais de corretagem,15,questão processo do trabalho,10,questão processo tributario,15,questão pucgo,186,questão pucrj,70,questão quadrix,120,questão slmandic,70,questão técnico agrícola,15,questão técnico de 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INDAGAÇÃO: OBMEP 2018: João tem o estranho hábito de mentir às segundas, terças e quartas
OBMEP 2018: João tem o estranho hábito de mentir às segundas, terças e quartas
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