OBMEP 2018: João tem o estranho hábito de mentir às segundas, terças e quartas

OBMEP 2018: João tem o estranho hábito de mentir às segundas, terças e quartas. Nos outros dias da semana ele fala a verdade. Todos os dias João diz a Maria se vai mentir ou não no dia seguinte. Em quantos dias da semana João pode dizer: “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2018: Observe que na igualdade 360 = 90 + 120 + 150 as parcelas são proporcionais a 3, 4 e 5. De quantas maneiras podemos escrever 360 como a soma de três parcelas inteiras, em ordem crescente, e proporcionais a três números inteiros positivos consecutivos?

RESOLUÇÃO:

Na tabela a seguir V significa que João fala a verdade no respectivo dia da semana, e M significa que ele mente nesse dia.

Consideramos duas situações, levando em conta que tipo de dia João fala a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”.

a) A frase é dita num dia X em que João fala a verdade. Nesse caso, no dia anterior ele teria que ter mentido e, de acordo com a tabela, o único dia possível seria o X = quinta-feira.

b) A frase é dita num dia X que João mente. Vamos admitir que hoje ele tenha dito: “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”. Como ele está em um dia no qual ele só mente, esta frase deve obrigatoriamente ser falsa, assim sendo, sua negação: “Ontem eu disse a Maria que não mentiria hoje” ou equivalentemente “Ontem eu disse a Maria que falaria a verdade hoje” deve ser obrigatoriamente verdadeira e, de fato, no dia anterior ele disse a Maria que falaria a verdade hoje. Podemos afirmar isto com certeza pois, pelo enunciado, ele emite sua opinião acerca do que vai acontecer no dia seguinte em todos os dias da semana.

Analisemos agora o que pode ter acontecido no dia anterior:

b1) No dia anterior João falou a verdade; nesse caso, como ele disse a Maria que falaria a verdade hoje, isso deve ser verdadeiro. Logo, hoje João deveria ter falado a verdade. Isso é uma contradição, pois estamos no caso b).

b2) No dia anterior João mentiu e, como afirmou que no dia seguinte falaria a verdade, no dia seguinte, de fato, ele deve ter mentido. Aqui não há contradição e este caso pode ter ocorrido.

Disso podemos concluir que, se João disser a frase: “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” em um dia da semana em que ele mente, então, no dia anterior a esse dia ele também deveria ter mentido. Isso só é possível na terça e na quarta.

Conclusão: João só pode ter dito a frase do enunciado em três dias da semana: na terça, na quarta ou na quinta-feira, justamente os dias seguintes aos dias em que ele mentiu.

Segunda solução:

Vamos determinar em que dias da semana ele pode ter dito a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”. Indiquemos, como antes, por V um dia em que ele fala a verdade e por M um dia em que mente. Para isso, analisemos dois dias consecutivos. Eles podem ser do tipo VV, como quinta e sexta, VM, como domingo e segunda, MV, como quarta e quinta, ou MM, como segunda e terça.

Par de dias VV

Nesse caso, no primeiro dia João diz que falará a verdade no dia seguinte, já que é um dia de contar a verdade. No dia seguinte, como ele fala a verdade, repete a afirmação do dia anterior. Portanto, a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” não pode ter sido dita em um dia V depois de um dia V.

Par de dias VM

No primeiro dia, um dia de falar a verdade, João dirá “amanhã vou mentir”, pois o dia seguinte é um dia do tipo M. Porém, no dia seguinte ele dirá uma mentira, portanto, dirá “ontem eu disse que iria dizer a verdade hoje”. Assim, a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” não pode ter sido dita em um dia M depois de um dia V.

Par de dias MM

No primeiro dia João dirá, “amanhã vou falar a verdade”, já que ele mente e o dia seguinte é um dia que ele também mente. No dia seguinte ele mente mais uma vez, dizendo “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”. Portanto, a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” pode ter sido dita em um dia de mentir que segue um dia de mentir.

Par de dias MV

No primeiro dia João dirá uma mentira, que nesse caso é “amanhã vou mentir”, já que o dia seguinte seria um dia de dizer a verdade. No dia seguinte ele diz, portanto, “ontem eu disse que mentiria hoje”, pois fala a verdade neste dia. Assim, a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” pode ter sido dita em um dia em que João mente, seguido de um dia em que João diz a verdade.

Conclusão: a frase de João pode ter sido dita em qualquer dia que segue um dia em que João mente. Analisando a tabela, vemos que isso ocorre terça, quarta e quinta. Assim, João pode ter dito a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” apenas nesses três dias.

RESPOSTA:
C) 3

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2018: Gabriel brinca com números de dois ou mais algarismos. Ele substitui os dois primeiros algarismos à esquerda do número pela soma desses algarismos, e repete esse procedimento até obter um número de um algarismo. Por exemplo, partindo do número 2018 ele obtém o número 2, pois 2018 → 218 → 38 → 11 → 2. Quantos são os números de três algarismos a partir dos quais Gabriel pode obter o número 1?