(ITA 2019) Considere as seguintes afirmações

(ITA 2019) Considere as seguintes afirmações: I. se x 1 , x 2  e x 3  são as raízes da equação x³ – 2x² + x + 2 = 0, então y 1  = x 2 x 3 ...

(ITA 2019) Considere as seguintes afirmações:

I. se x1, x2 e x3 são as raízes da equação x³ – 2x² + x + 2 = 0, então y1 = x2x3, y2 = x1x3 e y3 = x1x2 são as raízes da equação y³ – y² – 4y – 4 = 0.

II. a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9.



É(são) VERDADEIRA(S)

a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) todas.

QUESTÃO ANTERIOR:
- (ITA 2019) Os volumes de um tronco de cone, de uma esfera de raio 5 cm e de um cilindro de altura 11 cm formam nessa ordem uma progressão aritmética.

RESOLUÇÃO:
I. Sabendo que x1; x2; x3 são as raízes da equação x³ – 2x² + x + 2 = 0, pelas relações de Girard, temos:

Como y1, y2 e y3 são tais que y1 = x2x3 y2 = x1 . x3 y3 = x1 . x2, temos:

Assim, y1, y2 e y3 são as raízes da equação y³ – y² – 4y – 4 = 0

II) Sejam, a – 1, a e a + 1 os três números inteiros e consecutivos.
A soma dos cubos desses números é

(a – 1)³ + a³ + (a + 1)³ =
= a³ – 3a² + 3a – 1 + a³ + a³ + 3a² + 3a + 1 =
= 3a³ + 6a


Sendo a ∈ Z, a soma 3a³ + 6a é divisível por 9, pois
3a³ + 6a = 3a(a² + 2) = 3a(a² – 1 + 3) =
= 3a(a² – 1 + 3) = 3a[(a + 1)(a – 1) + 3] =
= 3a(a + 1)(a – 1) + 9a e a(a + 1)(a – 1) é múltiplo de 3

Assim, as três afirmações são verdadeiras.

GABARITO:
e) todas.

PRÓXIMA QUESTÃO:
- Química
- (ITA 2019) Sejam feitas estas afirmações a respeito do ponto de ebulição de substâncias à pressão atmosférica