ITA 2019: Considere um elétron confinado no interior de uma cavidade esférica de raio a cuja fronteira é intransponível

ITA 2019: Considere um elétron confinado no interior de uma cavidade esférica de raio a cuja fronteira é intransponível. a) Estime o valor...

ITA 2019: Considere um elétron confinado no interior de uma cavidade esférica de raio a cuja fronteira é intransponível.

a) Estime o valor do módulo da velocidade (v) e a energia total (E) desse elétron em seu estado fundamental.

b) De acordo com o modelo de Bohr, o estado de menor energia do elétron em um átomo de hidrogênio é caracterizado pela órbita circular de raio rB, tendo o elétron a velocidade tangencial de módulo VB. Obtenha a restrição em a/rB para que ocorra a desigualdade v > vB.

QUESTÃO ANTERIOR:
- ITA 2019: Uma placa quadrada de vértices A, B, C, D e lado l, medido em seu referencial de repouso, move-se em linha reta com velocidade de módulo v, próximo ao da velocidade da luz no vácuo c, em relação a um observador localizado a uma distância muito maior que l, conforme ilustra a figura.

RESOLUÇÃO:
a) Estando o elétron confinado no interior de uma cavidade esférica de raio α, a incerteza máxima na determinação de sua posição x vale 2α.

Sendo m a massa do elétron e h a constante de Planck de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg , temos:

Para um sistema de coordenadas cartesianas no interior da cavidade o elétron pode se mover nas direções x, y e z com velocidades Vx, Vy e Vz.

Para cada componente de velocidade, teremos:


Para a velocidade resultante do elétron:

vem:


A energia total associada ao elétron será:


b) No átomo de Bohr as órbitas possíveis são quantizadas:

Para o estado de menor energia, temos:

Impondo a condição V > VB, vem:

GABARITO:

PRÓXIMA QUESTÃO:
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