OBMEP 2019: A formiguinha da OBMEP está no ponto A e quer ir até o doce que está no ponto B

OBMEP 2019: A formiguinha da OBMEP está no ponto A e quer ir até o doce que está no ponto B. Ela anda sobre as linhas da fi gura e faz um caminho com o menor comprimento possível. Quantos são esses caminhos de menor comprimento?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: O quadrado abaixo está dividido em dois triângulos e um quadrilátero. O triângulo amarelo tem o dobro da área do triângulo azul.

RESOLUÇÃO:
Para ir até o doce andando sobre as linhas da figura, a formiguinha deve andar 4 vezes para frente e 5 vezes para baixo. Um caminho de menor comprimento possível ocorre quando ela anda simultaneamente para frente e para baixo, na diagonal, o máximo de vezes possível.

De acordo com as linhas da figura, esse caminho de menor tamanho possível ocorre quando ela anda 4 vezes na diagonal, escolhendo uma vez só para andar para baixo. Logo, se a letra D representar andar na diagonal e a letra B andar para baixo, os caminhos de menor comprimento possível são:

D+D+D+D+B;
D+D+D+B+D;
D+D+B+D+D;
D+B+D+D+D;
B+D+D+D+D.

Portanto, são 5 os caminhos de menor comprimento possível.

DETALHAMENTO DA RESOLUÇÃO:
A principal ideia para a resolução desse problema é a percepção de que o caminho mais curto para ir de um ponto a outro é através do segmento de reta que une os dois pontos, como exemplificamos na figura abaixo:

Utilizando este conceito, vamos a duas considerações:

I) Nenhum caminho mínimo pode passar por qualquer ponto acima da diagonal azul indicada na figura abaixo. Isso é fato, pois a formiga começa em um ponto da diagonal azul e, se em algum momento passar, por exemplo, no ponto verde, obrigatoriamente terá que tornar a passar na diagonal azul e, portanto, o caminho que fosse direto do ponto inicial até este ponto de retorno à diagonal seria menor que o caminho em questão.

II) O mesmo raciocínio se aplica para concluirmos que o caminho mínimo não pode passar por qualquer ponto abaixo da diagonal vermelha, pois, se passar por um ponto, o laranja por exemplo, ela obrigatoriamente passaria por dois pontos da diagonal vermelha e, portanto, esse caminho ficaria maior do que o que une os dois pontos diretamente.

Portanto, todos os caminhos mínimos precisam ficar restritos à região compreendida entre as paralelas azul e vermelha, a formiga começa na diagonal azul e, em algum momento, desce para vermelha. Como há 5 segmentos verticais unindo as duas diagonais, há 5 maneiras de ela fazer um caminho mínimo.

GABARITO:
E) 5

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: José dobrou e depois cortou uma folha de papel quadrada conforme mostrado abaixo

Questão disponível em:
- Questões OBMEP 2019 com Gabarito e Resolução