Questões OBMEP 2019 com Gabarito (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) Questões da OBMEP 2019 com Respostas Pro...
(Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas)
Questões da OBMEP 2019 com Respostas
Provas OBMEP 2019 Nível 1, Nível 2 e Nível 3.
NÍVEL 1
QUESTÃO 01
OBMEP 2019: Qual é o número que está escondido pelo borrão?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
QUESTÃO 02
OBMEP 2019: A figura abaixo foi formada com pizzas de mesmo tamanho, cada uma dividida em oito pedaços iguais.
Quantas pizzas inteiras é possível formar com esses pedaços?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
QUESTÃO 03
OBMEP 2019: A formiguinha da OBMEP iniciou uma caminhada indo para o norte (N) e encontrou ao longo de seu trajeto a seguinte sequência de placas:
Toda vez que encontrou a placa
ela virou 90° para a esquerda, e toda vez que encontrou a placa
ela virou 90° para a direita, continuando depois em linha reta. Em qual sentido ela passou a andar após passar pela última placa?
A) Norte (N)
B) Sul (S)
C) Leste (L)
D) Oeste (O)
E) Sudoeste (SO)
Toda vez que encontrou a placa
ela virou 90° para a esquerda, e toda vez que encontrou a placa
ela virou 90° para a direita, continuando depois em linha reta. Em qual sentido ela passou a andar após passar pela última placa?
A) Norte (N)
B) Sul (S)
C) Leste (L)
D) Oeste (O)
E) Sudoeste (SO)
QUESTÃO 04
OBMEP 2019: O quadrado abaixo está dividido em nove quadradinhos iguais. A área pintada de vermelho mede 6 cm².
Quanto mede a área pintada de azul?
A) 10 cm²
B) 12 cm²
C) 14 cm²
D) 16 cm²
E) 18 cm²
Quanto mede a área pintada de azul?
A) 10 cm²
B) 12 cm²
C) 14 cm²
D) 16 cm²
E) 18 cm²
QUESTÃO 05
OBMEP 2019: A senha de Aurélio é 5149. Ele está tão acostumado com essa senha que a digita sem olhar para o teclado.
Certo dia, quando foi digitar sua senha, não percebeu que o teclado estava girado de 180°, ou seja, de cabeça para baixo. Qual foi o número que ele digitou?
A) 5415
B) 5961
C) 5419
D) 5981
E) 5369
Certo dia, quando foi digitar sua senha, não percebeu que o teclado estava girado de 180°, ou seja, de cabeça para baixo. Qual foi o número que ele digitou?
A) 5415
B) 5961
C) 5419
D) 5981
E) 5369
QUESTÃO 07
OBMEP 2019: As casas da figura abaixo devem ser preenchidas com números primos. Em cada linha ou coluna, o produto dos números deve ser igual ao número indicado pela seta. A coluna indicada por 294 já está preenchida.
Qual é o número que deve ser escrito na casa marcada com *?
A) 2
B) 3
C) 5
D) 7
E) 11
Qual é o número que deve ser escrito na casa marcada com *?
A) 2
B) 3
C) 5
D) 7
E) 11
QUESTÃO 08
OBMEP 2019: Ana, Beatriz, Cláudia, Daniela e Érica foram visitar a vovó Margarida. Beatriz chegou antes de Ana e depois de Daniela. Já Cláudia, Daniela e Érica chegaram uma em seguida da outra, nessa ordem. Quem foi a primeira a chegar?
A) Ana
B) Beatriz
C) Cláudia
D) Daniela
E) Érica
QUESTÃO 09
OBMEP 2019: A figura mostra duas vistas de um mesmo cubo com as letras A, O, Y, X, N e E em suas faces.
Qual é a face oposta à face de letra E?
A) O
B) Y
C) A
D) X
E) N
QUESTÃO 10
OBMEP 2019: No Planeta Pemob as semanas têm 5 dias: Aba, Eba, Iba, Oba e Uba, nessa ordem. Os anos são divididos em 6 meses com 27 dias cada um.
Se o primeiro dia de um certo ano foi Eba, qual foi o último dia desse ano?
A) Aba
B) Eba
C) Iba
D) Oba
E) Uba
QUESTÃO 11
OBMEP 2019: O quadrado abaixo está dividido em dois triângulos e um quadrilátero. O triângulo amarelo tem o dobro da área do triângulo azul.
Qual é a área do quadrilátero rosa?
A) 36 cm²
B) 48 cm²
C) 52 cm²
D) 56 cm²
E) 60 cm²
Qual é a área do quadrilátero rosa?
A) 36 cm²
B) 48 cm²
C) 52 cm²
D) 56 cm²
E) 60 cm²
QUESTÃO 12
OBMEP 2019: A formiguinha da OBMEP está no ponto A e quer ir até o doce que está no ponto B. Ela anda sobre as linhas da fi gura e faz um caminho com o menor comprimento possível. Quantos são esses caminhos de menor comprimento?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
QUESTÃO 13
OBMEP 2019: José dobrou e depois cortou uma folha de papel quadrada conforme mostrado abaixo:
Ao desdobrar a folha, qual foi o resultado?
Ao desdobrar a folha, qual foi o resultado?
QUESTÃO 14
OBMEP 2019: Qual é a diferença entre a soma dos números ímpares e a soma dos números pares de 1 a 2019?
A) 1000
B) 1002
C) 1008
D) 1009
E) 1010
A) 1000
B) 1002
C) 1008
D) 1009
E) 1010
QUESTÃO 15
OBMEP 2019: Observe a sequência de figuras abaixo, todas elas com a forma da letra Y. Seguindo este padrão, quantas bolinhas terá a 15ª figura?
A) 35
B) 47
C) 50
D) 52
E) 60
A) 35
B) 47
C) 50
D) 52
E) 60
QUESTÃO 16
OBMEP 2019: Dois livros estão em uma prateleira. O Volume I está na posição correta, mas o Volume II está de cabeça para baixo. Cada capa tem espessura de 0,25 centímetros, e cada livro, sem as capas, tem espessura de 5 centímetros. Nessa disposição, qual é a distância entre a última página do Volume I e a última página do Volume II?
A) 0,5 cm
B) 5 cm
C) 6,5 cm
D) 10,5 cm
E) 11 cm
QUESTÃO 17
OBMEP 2019: Janaína tem três canecas, uma pequena, uma média e uma grande. Com a caneca pequena cheia, ela enche 3/5 da caneca média. Com a caneca média cheia, ela enche 5/8 da caneca grande.
Janaína enche as canecas pequena e média e despeja tudo na caneca grande. O que vai acontecer com a caneca grande?
A) Ela ficará preenchida em 7/8 de sua capacidade.
B) Ela ficará preenchida em 8/13 de sua capacidade.
C) Ela ficará preenchida em 5/8 de sua capacidade.
D) Ela ficará totalmente cheia, sem transbordar.
E) Ela vai transbordar.
QUESTÃO 18
OBMEP 2019: Uma fotografia mostra três pessoas: Armando, Benedita e Carlitos. Nessa foto, Armando está olhando para Benedita, e Benedita está olhando para Carlitos. Armando está de óculos, e Carlitos está sem óculos. Qual das alternativas abaixo é, com certeza, verdadeira?
A) Há uma pessoa de óculos olhando para uma pessoa sem óculos.
B) Há apenas uma pessoa sem óculos, e ela está olhando para uma pessoa de óculos.
C) Há apenas uma pessoa de óculos, e ela está olhando para uma pessoa sem óculos.
D) Carlitos está sendo olhado por uma pessoa sem óculos.
E) Carlitos está sendo olhado por uma pessoa de óculos.
A) Há uma pessoa de óculos olhando para uma pessoa sem óculos.
B) Há apenas uma pessoa sem óculos, e ela está olhando para uma pessoa de óculos.
C) Há apenas uma pessoa de óculos, e ela está olhando para uma pessoa sem óculos.
D) Carlitos está sendo olhado por uma pessoa sem óculos.
E) Carlitos está sendo olhado por uma pessoa de óculos.
QUESTÃO 19
OBMEP 2019: Na figura, os lados dos retângulos são horizontais ou verticais, e os retângulos de mesma cor são idênticos. Qual é o valor de h?
A) 88 cm
B) 89 cm
C) 90 cm
D) 91 cm
E) 92 cm
QUESTÃO 20
OBMEP 2019: Uma folha quadrada de 8 cm de lado foi dobrada três vezes como na figura. A primeira e a segunda dobras ficaram paralelas a uma diagonal da folha, e a terceira dobra ficou perpendicular a essa diagonal. Qual é a área da figura final?
A) 10 cm²
B) 13 cm²
C) 19 cm²
D) 26 cm²
E) 38 cm²
NÍVEL 2
QUESTÃO 21
OBMEP 2019: Qual das expressões abaixo tem o menor valor?
A) 2 x 0 - 1 + 9
B) 2 - 0 x 1 + 9
C) 2 - 0 + 1 x 9
D) 2 + 0 x 1 - 9
E) 2 x 0 + 1 - 9
A) 2 x 0 - 1 + 9
B) 2 - 0 x 1 + 9
C) 2 - 0 + 1 x 9
D) 2 + 0 x 1 - 9
E) 2 x 0 + 1 - 9
QUESTÃO 22
OBMEP 2019: A cidade de Quixajuba tem 3 000 habitantes. O número de habitantes que não possuem celulares é o mesmo dos que possuem dois celulares cada um, e todos os outros possuem um celular cada um. Quantos celulares os habitantes de Quixajuba possuem no total?
A) 1 500
B) 2 250
C) 3 000
D) 4 500
E) 6 000
QUESTÃO 23
OBMEP 2019: Uma festa de casamento será realizada em um salão que comporta no máximo 200 pessoas.
O organizador sabe que, se distribuir 8 convidados por mesa, uma mesa ficará com apenas um convidado. O mesmo irá ocorrer se ele distribuir 6 ou 7 convidados por mesa. Se ele distribuir 9 convidados por mesa, uma mesa ficará com menos do que 9 pessoas.
Quantas pessoas ficarão nessa mesa?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 7
QUESTÃO 24
OBMEP 2019: Uma loja de roupas ofereceu um desconto de 10% em uma camiseta, mas não conseguiu vendê-la. Na semana seguinte, aplicou um desconto de 20% sobre esse novo preço, e a camiseta foi vendida por R$ 36,00. Qual era o preço original da camiseta?
A) R$ 40,00
B) R$ 45,00
C) R$ 47,00
D) R$ 48,00
E) R$ 50,00
A) R$ 40,00
B) R$ 45,00
C) R$ 47,00
D) R$ 48,00
E) R$ 50,00
QUESTÃO 25
OBMEP 2019: Os números a e b são inteiros positivos tais que
Qual é o valor de a b + ?
A) 5
B) 7
C) 14
D) 20
E) 31
Qual é o valor de a b + ?
A) 5
B) 7
C) 14
D) 20
E) 31
QUESTÃO 26
OBMEP 2019: Um número inteiro positivo é chamado de tetrapar quando é divisível quatro vezes consecutivas por 2 e o resultado da última divisão é um número ímpar.
Por exemplo, o número 80 é tetrapar, pois 80 ÷ 2 = 40, 40 ÷ 2 = 20, 20 ÷ 2 = 10 e 10 ÷ 2 = 5.
Quantos são os números tetrapares de três algarismos?
A) 26
B) 28
C) 30
D) 56
E) 62
Por exemplo, o número 80 é tetrapar, pois 80 ÷ 2 = 40, 40 ÷ 2 = 20, 20 ÷ 2 = 10 e 10 ÷ 2 = 5.
Quantos são os números tetrapares de três algarismos?
A) 26
B) 28
C) 30
D) 56
E) 62
QUESTÃO 27
OBMEP 2019: Os quatro dados da figura são idênticos, e há três pares de faces em contato. Qual é o valor da soma dessas faces?
A) 73
B) 74
C) 75
D) 76
E) 77
QUESTÃO 28
OBMEP 2019: No paralelogramo ABCD da figura, os pontos M e N são pontos dos lados BC e CD, respectivamente. As áreas a, b, c e d são conhecidas. Qual é o valor da área x?
A) c + d - a
B) a + c + d - b
C) a + c + d - 2b
D) a + d - b
E) a + c - d
QUESTÃO 29
OBMEP 2019: Após a correção de uma prova com quatro questões, verificou-se que 5% dos alunos acertaram apenas uma questão, 40% acertaram duas e 25%, três. Se a média de acertos foi de duas questões por aluno, qual é o percentual de alunos que erraram todas as questões?
A) 5%
B) 10%
C) 20%
D) 25%
E) 30%
A) 5%
B) 10%
C) 20%
D) 25%
E) 30%
QUESTÃO 30
OBMEP 2019: Na figura, ABCD é um quadrado, a medida do ângulo ABE é 20° e EC = BC. Qual é a medida do ângulo DFC?
A) 80°
B) 85°
C) 90°
D) 95°
E) 100°
QUESTÃO 31
OBMEP 2019: Flávia anotou quantas horas estudou no mês de novembro e montou a seguinte tabela:
Se escolhermos cinco dias ao acaso, podemos garantir que Flávia estudou
A) exatamente 5 horas em pelo menos um desses cinco dias.
B) no máximo 15 horas nesses cinco dias.
C) no máximo 33 horas nesses cinco dias.
D) no mínimo 20 horas nesses cinco dias.
E) no mínimo 16 horas nesses cinco dias.
Se escolhermos cinco dias ao acaso, podemos garantir que Flávia estudou
A) exatamente 5 horas em pelo menos um desses cinco dias.
B) no máximo 15 horas nesses cinco dias.
C) no máximo 33 horas nesses cinco dias.
D) no mínimo 20 horas nesses cinco dias.
E) no mínimo 16 horas nesses cinco dias.
QUESTÃO 32
OBMEP 2019: Uma mesa circular tem seis lugares com cadeiras de cores diferentes. De quantos modos três casais de namorados podem ocupar esses seis lugares de forma que os três rapazes fi quem juntos e as três moças também, mas nenhum rapaz fi que junto de sua namorada?
A) 36
B) 54
C) 72
D) 108
E) 144
A) 36
B) 54
C) 72
D) 108
E) 144
QUESTÃO 33
OBMEP 2019: Joãozinho montou uma tabela com todos os valores de a, b e c no conjunto {0,1,2,...,9} tais que a² + 2bc = c² + 2ab. Observe algumas linhas da tabela:
Quantas linhas tem a tabela completa do Joãozinho?
A) 50
B) 100
C) 120
D) 130
E) 140
Quantas linhas tem a tabela completa do Joãozinho?
A) 50
B) 100
C) 120
D) 130
E) 140
QUESTÃO 34
OBMEP 2019: Marco tem dois relógios. Um deles marca as horas corretamente, e o outro atrasa 16 minutos por hora. Num certo dia os dois relógios mostravam 17:00 em seus visores. Depois de alguns dias eles voltaram a mostrar, pela primeira vez, a mesma hora. Qual é essa hora?
A) 5:00
B) 11:00
C) 14:00
D) 20:00
E) 21:00
QUESTÃO 35
OBMEP 2019: Cinco bolas numeradas de 1 a 5 estão dentro de cinco caixas tampadas, também numeradas de 1 a 5. Em cada caixa há somente uma bola, e sabe-se que apenas uma caixa está numerada com o mesmo número de sua bola.
Qual é o número mínimo de tampas que devemos abrir para descobrir, com certeza, que caixa é essa?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
NÍVEL 3
QUESTÃO 36
OBMEP 2019: Os estudantes de uma escola foram divididos em equipes de 8 meninas e 5 meninos cada uma. Se nessa escola há 60 meninas a mais do que meninos, qual é o número total de estudantes?
A) 130
B) 260
C) 390
D) 520
E) 650
A) 130
B) 260
C) 390
D) 520
E) 650
QUESTÃO 37
OBMEP 2019: Uma função f é tal que f
para todo número real x diferente de 0 e 1.
Qual é o valor de f(3)?
A) 1/4
B) 1/5
C) 1/6
D) 1/7
E) 1/8
para todo número real x diferente de 0 e 1.Qual é o valor de f(3)?
A) 1/4
B) 1/5
C) 1/6
D) 1/7
E) 1/8
QUESTÃO 38
OBMEP 2019: Em uma lanchonete, um pão de queijo, dois cachorros-quentes e um suco de laranja custam juntos R$ 31,00; já três pães de queijo, três cachorros-quentes e dois sucos de laranja custam juntos R$ 59,00.
Qual é a diferença entre os preços de um cachorro-quente e de um pão de queijo?
A) R$ 1,00
B) R$ 1,50
C) R$ 2,00
D) R$ 2,50
E) R$ 3,00
QUESTÃO 39
OBMEP 2019: Na conta ao lado, as letras A, B e C representam algarismos não nulos e diferentes entre si. Qual é o valor de C?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
QUESTÃO 40
OBMEP 2019: Em uma caixa há cinco bolas idênticas, com as letras O, B, M, E e P. Em uma segunda caixa há três bolas idênticas, com as letras O, B e M. Uma bola é sorteada da primeira caixa e, a seguir, outra bola é sorteada da segunda caixa. Qual é a probabilidade de que essas bolas tenham a mesma letra?
A) 1/6
B) 1/5
C) 1/4
D) 1/3
E) 1/2
QUESTÃO 41
OBMEP 2019: Qual é a soma dos algarismos do número
?
A) 10
B) 15
C) 18
D) 20
E) 25
?A) 10
B) 15
C) 18
D) 20
E) 25
QUESTÃO 42
OBMEP 2019: A figura mostra um pentágono ABCDE tal que AB = 4, BC = 8, CD = 1, AE = 4, e os ângulos ABC, BCD e EAB são retos. O ponto P se move sobre os lados AB e BC. Quantas posições o ponto P pode ocupar sobre os lados AB e BC de modo que o triângulo PDE seja isósceles?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
QUESTÃO 43
OBMEP 2019: Sabendo que as áreas dos triângulos BCQ e QCP da figura são, respectivamente, 6 e 2, qual é a área do retângulo ABCD?
A) 48
B) 50
C) 52
D) 54
E) 56
QUESTÃO 44
OBMEP 2019: O quadrado ABCD tem 8 cm de lado. O ponto P, no interior do quadrado, é tal que a área do triângulo APD é o dobro da área do triângulo ABP. Seja x a distância, em centímetros, do ponto P ao lado AB. Qual é o gráfico da área da região destacada em cinza em função de x?
QUESTÃO 45
OBMEP 2019: Quatro cartões, cada um deles com um número inteiro positivo, são tais que toda vez que somamos os números de três deles obtemos um número igual ou maior do que 24. Considere as seguintes afirmações:
I) Todos os números são iguais ou maiores do que 8.
II) Existem dois números cuja soma é igual ou maior do que 16.
III) Existem dois números cujo produto é igual ou maior do que 64.
Quais afirmações são necessariamente verdadeiras?
A) somente I e II
B) somente I e III
C) somente II e III
D) somente II
E) I, II e III
I) Todos os números são iguais ou maiores do que 8.
II) Existem dois números cuja soma é igual ou maior do que 16.
III) Existem dois números cujo produto é igual ou maior do que 64.
Quais afirmações são necessariamente verdadeiras?
A) somente I e II
B) somente I e III
C) somente II e III
D) somente II
E) I, II e III
QUESTÃO 46
OBMEP 2019: As 6 cadeiras de uma fila são numeradas de 1 a 6 e devem ser ocupadas uma de cada vez de modo que, sempre que possível, é escolhida uma cadeira sem vizinhas ocupadas.
Por exemplo, é válida a ordem de ocupação 1 6 3 2 4 5, em que a primeira pessoa ocupa a cadeira 1, a segunda, a cadeira 6, a terceira, a cadeira 3, a quarta, a cadeira 2, a quinta, a cadeira 4 e a última, a cadeira 5.
Já a ordem 1 5 2 3 6 4 não é válida, pois a terceira pessoa sentou-se ao lado da primeira quando poderia ter se sentado em uma cadeira sem vizinhas ocupadas.
Quantas ordens de ocupação válidas existem?
A) 72
B) 108
C) 144
D) 192
E) 216
Por exemplo, é válida a ordem de ocupação 1 6 3 2 4 5, em que a primeira pessoa ocupa a cadeira 1, a segunda, a cadeira 6, a terceira, a cadeira 3, a quarta, a cadeira 2, a quinta, a cadeira 4 e a última, a cadeira 5.
Já a ordem 1 5 2 3 6 4 não é válida, pois a terceira pessoa sentou-se ao lado da primeira quando poderia ter se sentado em uma cadeira sem vizinhas ocupadas.
Quantas ordens de ocupação válidas existem?
A) 72
B) 108
C) 144
D) 192
E) 216
QUESTÃO 47
OBMEP 2019: A rã Zinza quer ir da pedra 1 até a pedra 10 em cinco pulos, pulando de uma pedra para a seguinte ou por cima de uma ou de duas pedras. De quantas maneiras diferentes Zinza pode fazer isso?
A) 10
B) 35
C) 45
D) 84
E) 126
A) 10
B) 35
C) 45
D) 84
E) 126
QUESTÃO 48
OBMEP 2019: Uma formiga caminha pela grade abaixo, podendo se mover apenas para a direita ou para cima. Se tiver duas opções para se mover, ela escolhe uma ao acaso, com probabilidade 1/2. Qual é a probabilidade de que a formiga comece no ponto A e termine no ponto B?
A) 1/5
B) 1/32
C) 1/2
D) 1/10
E) 1/8
QUESTÃO 49
OBMEP 2019: Um reservatório, inicialmente vazio, é abastecido por duas torneiras de vazões diferentes. Se cada torneira for aberta por 1/3 do tempo necessário para que a outra encha o reservatório, este ficará com 5/6 de sua capacidade preenchida. Além disso, as duas torneiras juntas enchem o reservatório inicialmente vazio em 2 horas e 30 minutos.
Em quanto tempo a torneira de maior vazão enche o reservatório?
A) 3 horas
B) 3 horas e 15 minutos
C) 3 horas e 30 minutos
D) 3 horas e 45 minutos
E) 4 horas
QUESTÃO 50
OBMEP 2019: Em um aniversário, todo menino conhece 4 meninas, e cada menina não conhece 5 meninos. Qual é o número mínimo de meninas e meninos nesse aniversário?
A) 4
B) 8
C) 18
D) 20
E) 100
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