(OBMEP) Na sequência 1, 5, 4, −1, -5, ... cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seus dois vizinhos

(OBMEP) Na sequência 1, 5, 4, −1, -5, ... cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seus dois vizinhos; por exemplo: 5 = 1 + 4, 4 = 5 + (-1) e -1 = 4 + (-5). Qual é a soma dos 1000 primeiros termos dessa sequência?

A) 0
B) 1
C) 4
D) 9
E) 10

QUESTÃO ANTERIOR:

- (OBMEP) Dentro de três sacolas idênticas foram colocados objetos de pesos a, b, e c, como na figura

RESOLUÇÃO:
De acordo com o enunciado, cada termo, a partir do terceiro, é igual à diferença entre seus dois antecessores imediatos. Assim, percebemos que a sequência é periódica, uma vez que, dando continuidade à sua construção, observamos que seus termos repetem-se a cada 6 posições. Esse fato é evidente, pois o sétimo termo é igual ao primeiro e o oitavo, igual ao segundo. Consequentemente, o nono é igual ao terceiro, pois é o resultado da mesma diferença, como vemos abaixo:

1, 5, 4, -1, -5, -4 = -5 - (-1), 1 = -4 - (-5), 5 = 1 - (-4), ...

Consequentemente, como 1000 = 6 x 166 + 4 = 996 + 4, os primeiros 1000 termos da sequência são obtidos justapondo-se 166 blocos contendo exatamente os 6 primeiros números da sequência, seguidos dos quatro primeiros números (da sequência), como indicado abaixo:

Finalmente, como a soma dos números em cada bloco é igual a zero, concluímos que a soma dos 1000 primeiros números da sequência é igual a soma dos últimos quatro termos, a saber, 1 + 5 + 4 + (-1) = 9.

RESOLUÇÃO EM VÍDEO:

GABARITO:

D) 9

PRÓXIMA QUESTÃO:

- (OBMEP) Um ponto está a 1 cm de uma figura quando a menor distância desse ponto aos pontos da figura é 1 cm.

Questão disponível em:

- Questões OBMEP com Gabarito e Resolução