(OBMEP) Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas, 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas

(OBMEP) Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas, 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas. Joãozinho quer retirar uma certa quantid...

(OBMEP) Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas, 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas.

Joãozinho quer retirar uma certa quantidade de bolas dessa caixa, sem olhar, para ter a certeza de que, entre elas, haja um grupo de sete bolas com três cores diferentes, sendo três bolas de uma cor, duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de uma terceira cor.

Qual é o número mínimo de bolas que Joãozinho deve retirar da caixa?

A) 11
B) 14
C) 21
D) 22
E) 23

QUESTÃO ANTERIOR:

- (OBMEP) Em uma competição, as partidas têm duração de 60 minutos, e cada time tem sempre 5 jogadores em campo.

RESOLUÇÃO:
Observamos primeiro que Joãozinho pode escolher 22 bolas sem que nenhum grupo de 7 delas satisfaça as condições do enunciado; por exemplo, ele pode escolher 10 bolas verdes, 10 amarelas, 1 azul e 1 amarela. Por outro lado, se ele escolher 23 bolas haverá, necessariamente, um grupo de 7 delas que satisfará a condição do enunciado. Podemos ver isso como segue.

Ao escolher 23 bolas, pelo menos 6 delas serão de uma mesma 1.ª cor. De fato, se isso não acontecesse, então haveria no máximo 5 bolas de cada cor, ou seja, Joãozinho teria escolhido no máximo 5+ 5 +5 + 5 = 20 bolas, o que não é o caso, já que estamos supondo que ele escolheu 23. O maior número possível de bolas dessa cor entre as escolhidas é 10; sobram, então, no mínimo 23 −10 = 13 bolas para as outras três cores. O mesmo raciocínio aqui mostra que há pelo menos 5 bolas de uma 2.ª cor e que sobram no mínimo 13 − 10 = 3 bolas para as duas cores restantes; finalmente, outra vez o mesmo raciocínio mostra que há pelos menos 2 bolas de uma 3.ª cor.

Mostramos, assim, que, se Joãozinho escolher 23 bolas, entre elas haverá um grupo de 13 bolas com 6 de uma 1.ª cor, 5 de uma 2.ª cor e 2 de uma 3.ª cor; em particular, entre essas bolas aparecerão 3 da 1.ª cor, 2 da 2.ª e 2 da 3.ª. Segue que 23 é o menor número de bolas que ele deve escolher para garantir a condição do enunciado.

Observação geral:
O argumento empregado nessa solução pode ser formalizado como segue: se a1, a2, … , an são números reais e sua média aritmética é m, isto é,então, ou a1 = a2 = ⋯ = an = m ou existe pelo menos um índice i tal que ai < m e pelo menos um índice j tal que aj > m. No nosso caso, fizemos uma escolha de a1 bolas verdes, a2 bolas amarelas, a3 bolas azuis e a4 bolas vermelhas tal que a1 + a2 + a3 + a4 = 23; temos

Segue que existe pelo menos um i tal que ai > 5, e, como ai é um número inteiro, temos ai ≥ 6; em outras palavras, entre as 23 bolas existem pelo menos 6 de uma mesma cor, e analogamente para o restante da solução. A demonstração do fato geral do início desse parágrafo é inteiramente análoga à do caso particular que acabamos de analisar.

RESOLUÇÃO EM VÍDEO:

GABARITO:

E) 23

PRÓXIMA QUESTÃO:

- (OBMEP) Dentro de três sacolas idênticas foram colocados objetos de pesos a, b, e c, como na figura. Com isso, o peso da sacola 1 ficou menor que o peso da sacola 2, que por sua vez ficou menor que o peso da sacola 3.

Questão disponível em:

- Questões OBMEP com Gabarito e Resolução