ITA 2020: Considere a função f : R → R definida por f(x) = x⁶ – 10x⁴ – 4x³ + 25x² + 20x + 28

ITA 2020: Considere a função f : R → R definida por f(x) = x⁶ – 10x⁴ – 4x³ + 25x² + 20x + 28. a) Determine dois números reais α e β de mod...

ITA 2020: Considere a função f : R → R definida por f(x) = x⁶ – 10x⁴ – 4x³ + 25x² + 20x + 28.

a) Determine dois números reais α e β de modo que f possa ser reescrita como f(x) = (x³ – 5x + α)² + β.

b) Determine o valor mínimo de f.

c) Determine o(s) ponto(s) x ∈ R onde f assume seu valor mínimo.

QUESTÃO ANTERIOR:
- ITA 2020: Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais k para os quais a reta y = kx intersecta a parábola y = x² + ax + b é igual a (–∞, 2] ∪ [6, +∞), determine os números a e b.

RESPOSTA:
a) f(x) = (x³ – 5x + α)² + β =
= x⁶ – 10x⁴ + 2αx³ + 25x² – 10αx + α² + β =
= x⁶ – 10x⁴ – 4x³ + 25x² + 20x + 28 ⇒
⇒ 2α = – 4; – 10α = 20 e α² + β = 28 ⇒
⇒ α = – 2 e β = 24

b) f(x) = (x³ – 5x – 2)² + 24, então f, é mínimo quando x³ – 5x – 2 = 0. Assim, f mínimo é 24.

c) O(s) ponto(s) x ∈  onde f assume seu valor mínimo são raízes da equação x³ – 5x – 2 = 0 e como (– 2)3 – 5 . (– 2) – 2 = 0 ⇒ – 2 é raiz. Assim x3 – 5x – 2 = (x + 2) . q(x), onde q(x) é quociente da divisão por x + 2.



Assim, q(x) = x² – 2x – 1 = 0 ⇒



Respostas:
a) α = – 2 e β = 24
b) 24
c) – 2; 1 – √2 e 1 + √2

PRÓXIMA QUESTÃO:
- ITA 2020: Seja z ∈ ∁ uma raiz da equação 4z² – 4z sen α + 1 = 0, para α ∈. Determine, em função de α, todos os possíveis valores para

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Prova ITA 2020 (2ª Fase) com Gabarito e Resoluções