ITA 2020: Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais k

ITA 2020: Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais k para os quais a reta y = kx intersecta a parábola y = x...

ITA 2020: Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais k para os quais a reta y = kx intersecta a parábola y = x² + ax + b é igual a (–∞, 2] ∪ [6, +∞), determine os números a e b.

QUESTÃO ANTERIOR:
- ITA 2020: Dizemos que um número natural n é um cubo perfeito se existe um número natural a tal que n = a³.

RESPOSTA:
Se a reta y = kx intercepta a parábola y = x² + ax + b então a equação
kx = x² + ax + b ⇔ x² + (a – k)x + b = 0

deve ter uma ou duas soluções e, portanto,
(a – k)² – 4b ≥ 0 ⇔ k² – 2ak + a² – 4b ≥ 0

A solução dessa última inequação, em k, é
(–∞; 2] ∪ [2; ∞) o que significa

que k² – 2ak + a² – 4b = (k – 2)(k – 6), ∀k ∈  ⇔
⇔ k² – 2ak + a² – 4b = k² – 8k + 12, ∀k ∈  ⇔


Resposta: a = 4 e b = 1

PRÓXIMA QUESTÃO:
- ITA 2020: Considere a função f : R → R definida por f(x) = x⁶ – 10x⁴ – 4x³ + 25x² + 20x + 28.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Prova ITA 2020 (2ª Fase) com Gabarito e Resoluções