ITA 2020: Determine todos os números inteiros k entre 0 e 200 para os quais o polinômio pk(x) = x³ – x² – k

ITA 2020: Determine todos os números inteiros k entre 0 e 200 para os quais o polinômio pk(x) = x³ – x² – k possui uma única raiz inteira. P...

ITA 2020: Determine todos os números inteiros k entre 0 e 200 para os quais o polinômio pk(x) = x³ – x² – k possui uma única raiz inteira. Para cada um desses valores de k, determine a raiz inteira correspondente.

QUESTÃO ANTERIOR:
- ITA 2020: Considere a circunferência λ de centro O passando por um ponto A.

RESPOSTA:
1) O gráfico da função p0 (x) = x³ – x² – 0 é do tipo

2) O gráfico da função fk (x) = x³ – x² – k, com k > 0, é do tipo

3) Para k > 0 a equação terá uma única raiz real maior que 1 que pode ou não ser inteira.

4) Se r for uma raiz inteira, será única e k também será inteiro.

5) Assim sendo, observando que x³ – x² – k = 0 ⇔
⇔ k = x³ – x² ⇔ k = x² . (x – 1), temos:
x = 2 ⇒ k = 2² (2 – 1) ⇔ k = 4
x = 3 ⇒ k = 3² (3 – 1) ⇔ k = 18
x = 4 ⇒ k = 4² (4 – 1) ⇔ k = 48
x = 5 ⇒ k = 5² (5 – 1) ⇔ k = 100
x = 6 ⇒ k = 6² (6 – 1) ⇔ k = 180
x = 7 ⇒ k > 200

Resposta:


PRÓXIMA QUESTÃO:
- ITA 2020: Considere uma pirâmide reta P cuja base é um hexágono regular de lado l.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Prova ITA 2020 (2ª Fase) com Gabarito e Resoluções