FUVEST 2020: A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado

FUVEST 2020: A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado.

Com relação a essa tabela de números:

a) Escolha um quadrado 3 × 3 e, exibindo a soma de seus 9 números, verifique que o resultado é múltiplo de 9.

b) Um quadrado com 16 números tem por soma de todos esses números o valor de 1.056 (mil e cinquenta e seis). Descubra o menor número desse quadrado.

c) A soma de todos os números de um quadrado n × n, com menor número igual a 4, é de 108.000 (cento e oito mil). Qual é o valor de n?

RESOLUÇÃO:

a) Um quadrado 3x3 é do tipo

Se S for a soma dos nove elementos desse quadrado então:

S = (3x + 3) + (3x + 24) + (3x + 45)⇔ S = 9x + 72 ⇔ S = 9 . (x + 8) que é um múltiplo de 9.

b) Um quadrado de 16 números é 4x4 e é do tipo

A soma dos 16 elementos é 1056 e, portanto:

(4x + 6) + (4x + 34) + (4x + 62) + (4x + 90) = 1056 ⇔ 16x + 192 = 1056 ⇔ 16x = 864 ⇔ x = 54

Assim, o menor número desse quadrado é 54.

c) Um quadrado nxn, cujo primeiro elemento é o 4, é do tipo:

Note que:
1) O primeiro elemento da n-ésima linha é
4 + (n – 1) . 7 = 4 + 7n – 7 = 7n – 3.

2) O último elemento da n-ésima linha é
7 . n – 3 + n – 1 = 8n – 4.

Se S1 for a soma dos elementos da linha 1 e Sn for a soma dos elementos da linha n, então:

A soma S dos n elementos da P.A.

(S1, S2, S3, …, Sn) em que S1, S2, S3, …, Sn representam as soma dos elementos da linha 1, linha 2, linha 3, …, é tal que: