FUVEST 2020: O Floco de Neve de Koch (ou Estrela de Koch) é uma construção geométrica recursiva

FUVEST 2020: O Floco de Neve de Koch (ou Estrela de Koch) é uma construção geométrica recursiva cujos primeiros passos se desenvolvem da seg...

FUVEST 2020: O Floco de Neve de Koch (ou Estrela de Koch) é uma construção geométrica recursiva cujos primeiros passos se desenvolvem da seguinte forma:

Os passos seguintes (Passo 3, Passo 4, Passo 5, ...) seguem o mesmo procedimento descrito no Passo 1, em cada lado da figura obtida no passo anterior. Considerando os passos descritos e os próximos passos, responda:

a) Qual é o número de lados da figura no Passo 3?

b) Qual é o perímetro da figura no Passo 5?

c) A partir de qual Passo o número de lados da figura supera 6.000.000.000.000 (seis trilhões)?

Note e adote:
log10 2 ≅ 0,301

QUESTÃO ANTERIOR:
- FUVEST 2020: A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado.

RESOLUÇÃO:

a) Com os dados fornecidos podemos montar a tabela:

Os números de lados estão em P.G. de primeiro termo 3 e razão 4.
A figura do Passo 3 possui 3 . 4³ = 192 lados.

b) Os perímetros estão em P.G. de primeiro termo 3 e razão

A figura do Passo 5 possui perímetro


c) Como o número de lados no passo n é dado por 3 . 4ⁿ, este número supera 6 trilhões se
3 . 4ⁿ > 6 . 10¹² ⇒ 2²ⁿ > 2 . 1012 ⇒
⇒ log 2²ⁿ > log (2 . 10¹²) ⇒
⇒ 2n . log 2 > log 2 + log 10¹² ⇒
⇒ 2n . 0,301 > 0,301 + 12 ⇒ n >⇒
⇒ n > 20,4
Portanto, a partir do Passo 21

Respostas:
a) 192 lados
b)
c) Passo 21

PRÓXIMA QUESTÃO:
- FUVEST 2020: Um jogo educativo possui 16 peças nos formatos: círculo, triângulo, quadrado e estrela, e cada formato é apresentado em 4 cores: amarelo, branco, laranja e verde.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Prova FUVEST 2020 - 2º Fase, 2º Dia - com Resolução