FUVEST 2020: Resolva os três itens abaixo

FUVEST 2020: Resolva os três itens abaixo: a) Considere o conjunto formado pelos números com -plexos z que cumprem a condição Re(z) = Im(z...

FUVEST 2020: Resolva os três itens abaixo:

a) Considere o conjunto formado pelos números com -plexos z que cumprem a condição Re(z) = Im(z). Cada elemento desse conjunto será objeto da transformação que leva um número complexo em seu conjugado. Represente no plano complexo (ou plano de ArgandGauss) da folha de respostas o conjunto resultante após essa transformação.

b) Determine o lugar geométrico dos pontos z do plano complexo tais que z ≠ – 1 e para os quaisé um número imaginário puro.

c) Determine as partes reais de todos os números complexos z tais que as representações de z, i e 1 no plano complexo sejam vértices de um triângulo equilátero.

QUESTÃO ANTERIOR:
- FUVEST 2020: É dada a função f: [0, π] → R definida por f(x) = sen⁴x + cos⁴x, para todo x ∈ [0, π].

RESOLUÇÃO:
a) Os complexos tais que Re(Z) = Im(Z) podem ser representados como Z = a + ai, com a ∈ R.

A transformação mencionada no enunciado associa cada complexo Z = a + ai com seu conjugado
= a – ai. O conjunto dos números da forma.
= a – ai pode ser representado de acordo com o gráfico abaixo (bissetriz dos quadrantes pares):

b) Para Z = a + bi, tem-se:


Para queseja imaginário puro deve-se ter:

(Z + 1 ≠ 0 e a² + b² – 1 = 0) ⇔
⇔ Z ≠ – 1 e a² + b² = 1, que é uma circunferência com centro na origem e raio 1, sem o ponto (– 1, 0).

c) Considerando os afixos de Z1 = i e Z2 = 1 como dois dos vértices do triângulo equilátero, tem-se √2 é a medida de um dos lados deste triângulo. Como o terceiro afixo P deve formar com os afixos de Z1 e Z2 o triângulo equilátero tem-se para P(x, y) duas possibilidades (P1 e P2)

Como P1 e P2 pertencem à reta y = x e a distância ao ponto (1, 0) deve ser √2 , tem-se

como y = x

Portanto, tem-se:


Esses pontos são os afixos dos números complexos cujas partes reais são:


Respostas:
a) Gráfico
b) Circunferência com centro na origem e raio 1, sem o ponto (– 1, 0)
c)

PRÓXIMA QUESTÃO:
- FUVEST 2020: Uma pessoa produz oscilações periódicas em uma longa corda formada por duas porções de materiais diferentes 1 e 2, nos quais a velocidade de propagação das ondas é, respectivamente, de 5,0 m/s e 4,0 m/s.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Prova FUVEST 2020 - 2º Fase, 2º Dia - com Resolução