UNICAMP 2021: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 2𝑥 + 1 uma função polinomial real

UNICAMP 2021: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 2𝑥 + 1 uma função polinomial real

UNICAMP 2021: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 2𝑥 + 1 uma função polinomial real. A reta tangente ao gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto (𝑎, 𝑓(𝑎)) é definida pela equação 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑓(𝑎) − 𝑚𝑎, onde 𝑚 = 3𝑎² − 2.

a) Encontre os pontos do gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuja reta tangente é paralela à reta definida por 𝑥 − 𝑦 = 0.

b) Sabendo que 𝑎 > 0 e que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto (𝑎, 𝑓(𝑎)) é 10, determine os pontos de interseção da reta tangente com o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥).

QUESTÃO ANTERIOR:

- UNICAMP 2021: Em 2019, diversas praias brasileiras foram atingidas por manchas de óleo.

RESOLUÇÃO (Cursos Objetivo):

a) A reta tangente no ponto (a; f(a)) é dada por

y = mx + f(a) – ma (dado)

⇒ y – f(a) = m . (x – a)

Para as tangentes à x – y = 0, m = 1 e, como

m = 3a² – 2 (dado), temos:

1 = 3a² – 2 ⇒ 3 = 3a² ⇒ a² = 1 ⇒ a = ± 1

Se a = 1 : f(1) = 13 – 2 . 1 + 1 = 0

Se a = –1 : f(–1) = (–1)³ – 2 . (–1) + 1 = 2

Portanto, os pontos são (1; 0) e (–1; 2).

b) Se a > 0 e mt = 10, temos:

10 = 3a² – 2 ⇒ 12 = 3a² ⇒ a² = 4 ⇒ a = 2 (a > 0)

Se a = 2: f(2) = 2³ – 2 . 2 + 1 = 5

Portanto, o ponto de intersecção é (2; 5).

GABARITO:

a) os pontos são (1; 0) e (–1; 2).

b) é o ponto (2; 5) 

PRÓXIMA QUESTÃO:

- UNICAMP 2021: Em 11 de março de 2020 a Organização Mundial de Saúde declarou a pandemia da Covid-19, uma doença causada pela infecção pelo novo coronavírus (SARS-CoV-2).

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Prova UNICAMP 2021 (2ª fase - 1º e 2º dia) com Gabarito e Resolução

READAÇÃO.