Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos

UECE 2021.1 - QUESTÃO 20 Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos, das equações x² – 2x – 1 ...

UECE 2021.1 - QUESTÃO 20

Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos, das equações x² – 2x – 1 = 0 e x⁴ + 13x² + 36 = 0. Se X = W ∪ V, então, a soma dos quadrados dos elementos de X é igual a

Nota: i é o número complexo cujo quadrado é igual a –1.

A) 20.

B) –20.

C) 4i.

D) –4i.

QUESTÃO ANTERIOR:

- A razão entre as medidas das áreas de um triângulo equilátero cuja medida do lado é 1 cm e a medida da área de um quadrado cuja medida do lado é também igual a 1 cm é

RESOLUÇÃO (Por: Prof. Alan Rangel*):

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Primeiramente devemos garantir que W ∩ V = { }, pois o problema pede a soma dos quadrados dos elementos de X = W ∪ V , e se houver um elemento na interseção entre W e V, este elemento aparecerá uma única vez em X. E de fato, as raízes de x² − 2x − 1 = 0 são reais e as raízes de x⁴ + 13x² + 36 = 0 não são reais, portanto W ∩ V = { }.

Analisando separadamente as equações: Sejam x1 e x2 as raízes de x² − 2x − 1 = 0 e x3, x4, x5, x6 as raízes de x⁴ + 13x² + 36 = 0.

Pelas relações de Girard, temos:

Equação 1: x² − 2x − 1 = 0

Elevando ao quadrado ambos os membros da primeira equação e substituindo x1 · x2 = −1:

Equação 2 : x⁴ + 13x² + 36 = 0

Elevando ao quadrado ambos os membros de x3 + x4 + x5 + x6 = 0, temos:

Como  somando as duas equações chegamos em:

GABARITO:

B) –20.

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Se S =–1+2–3+4–5+6–7+ .... +98–99+100, então, o valor de S é igual a

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Prova UECE 2021.1 com Gabarito

*resolução enviada por colaborador. Saiba mais!