O número de soluções reais e distintas da equação cos²(2x) = 3 – cos⁶(x) – 5 cos²(x) no intervalo [0, 2π[ é

ITA 2022 - QUESTÃO 54 O número de soluções reais e distintas da equação cos²(2x) = 3 – cos⁶(x) – 5 cos²(x) no intervalo [0, 2π[ é a) 2. b) 3...

ITA 2022 - QUESTÃO 54

O número de soluções reais e distintas da equação cos²(2x) = 3 – cos⁶(x) – 5 cos²(x) no intervalo [0, 2π[ é

a) 2.

b) 3.

c) 4.

d) 5.

e) 6.

QUESTÃO ANTERIOR:

- Sejam α, β e θ ángulos internos de um triângulo. Se cos (β + θ) ≤ cos (α + 2β), podemos afirmar que

RESOLUÇÃO (Cursos Objetivo):

Sendo cos (2x) = 1 – 2 . cos² x, temos 

(1 – 2 . cos² x)2 = 3 – cos⁶ x – 5 . cos² x ⇔

⇔ 1 – 4 . cos² x + 4 . cos⁴ x = 3 – cos⁶ x – 5 . cos² x ⇔

⇔ cos⁶ x + 4 cos⁴ x + cos² x – 2 = 0 ⇔

⇔ cos⁶ x + cos⁴ x + 3 cos⁴ x + 3 cos² x – 2 cos² x – 2 = 0 ⇔

⇔ cos⁴ x . (cos² x + 1) + 3 . cos² x . (cos² x + 1) – 2 . (cos² x + 1) = 0 ⇔

⇔ (cos² x + 1) . (cos⁴ x + 3 . cos² x – 2) = 0

Dessa forma, cos² x + 1 = 0 (I) ou 

cos⁴ x + 3 . cos² x – 2 = (II)

Assim, de I, temos

cos² x + 1 = 0 ⇔ cos² x = –1 (⇔ ∄ x ∈ R)

Logo, sem solução no intervalo [0, 2π[ de II, temos

cos⁴ x + 3 . cos² x – 2 = 0 ⇔

No intervalo [0, 2π[ temos dois valores de x que satisfazem cos x ≅ 0,75, um no primeiro quadrante e outro no quarto quadrante, e outros dois valores de x que satisfazem cos x = –0,75, um no segundo quadrante e outro no terceiro quadrante.

Assim a equação cos² (2r) = 3 – cos⁶ (x) – 5 cos² (x) tem 4 soluções reais e distintas no intervalo [0; 2π[

GABARITO:

c) 4.

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Seja T um triângulo de vértices A, B e C com  

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Prova ITA 2022 (1ª Fase) com Gabarito