Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo de b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível para a + b?

OBMEP 2022 - QUESTÃO 18

(A) 2

(B) 4

(D) 10

(E) 14

QUESTÃO ANTERIOR:

- Cinco jogadores disputam um torneio de tênis de mesa de modo que cada jogador enfrenta todos os outros exatamente uma vez. Nessas partidas não há empates. Em cada partida, os dois jogadores têm a mesma probabilidade de ganhar, e o resultado de uma partida não influencia o resultado das demais.

GABARITO:

(D) 10

RESOLUÇÃO:

Vamos encontrar todos os pares de números inteiros positivos a e b para os quais sejam cumpridas as condições do enunciado. Como a + 2 é múltiplo de b, temos b a + 2; como b + 2 é múltiplo de a, temos a b + 2. Portanto, a diferença b – a só pode variar entre –2 e 2. Pela simetria entre a e b, basta examinar os casos em que a diferença b – a é igual a 0, 1 ou 2 (os casos em que a diferença é igual a – 1 ou – 2 dão origem às mesmas soluções que os casos em que é igual a 1 ou 2, com os valores de a e b trocados).

Caso b – a = 0:

Neste caso, a + 2 é múltiplo de a, o que equivale a dizer que 2 é múltiplo de a. Logo, a pode ser 1 ou 2, o que fornece as soluções a = b = 1 e a = b = 2.

Caso b – a = 1:

Neste caso, b = a a + 2 deve ser múltiplo de a + 1. Como a + 2 = (a + 1) + 1, isto implica que 1 seja múltiplo de a + 1. Como a é positivo, essa hipótese é impossível e, portanto, não há soluções neste caso.

Caso b – a = 2.

Neste caso, b = a + 2 e as condições a serem satisfeitas são de que a + 2 = b seja múltiplo de b (o que é sempre verdade) e de que b + 2 = a + 4 seja múltiplo de a. Para que isso aconteça, 4 deve ser múltiplo de a ou, equivalentemente, a deve ser um divisor de 4. Logo, temos as possibilidades a = 1, b = 3; a = 2, b = 4; e a = 4, b = 6.

Como no caso b – a = 1, não há soluções para o caso b – a = –1. As soluções para o caso b – a = –2 são as mesmas do caso b – a = 2, com a e b trocados: a = 3, b = 1; a = 4, b = 2; e a = 6, b = 4.

O maior valor de a + b ocorre nas soluções a = 4, b = 6 e a = 6, b = 4, para as quais a + b = 10.

PRÓXIMA QUESTÃO:

- O retângulo ABCD é formado pelos triângulos ABP, CQP, AQD e APQ. As áreas dos triângulos ABP, CQP e AQD são, respectivamente, 6, 5 e 2 cm². Qual é, em em, a área do triângulo APQ?

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas OBMEP 2022 com Gabarito e Resolução