O retângulo ABCD é formado pelos triângulos ABP, CQP, AQD e APQ. As áreas dos triângulos ABP, CQP e AQD são

OBMEP 2022 - QUESTÃO 19 O retângulo ABCD é formado pelos triângulos ABP, CQP, AQD e APQ. As áreas dos triângulos ABP, CQP e AQD são, respect...

OBMEP 2022 - QUESTÃO 19

O retângulo ABCD é formado pelos triângulos ABP, CQP, AQD e APQ. As áreas dos triângulos ABP, CQP e AQD são, respectivamente, 6, 5 e 2 cm². Qual é, em em, a área do triângulo APQ?

(A) 7

(B) 8

(C) 9

(D) 10

(E) 11

QUESTÃO ANTERIOR:

- Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo de b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível para a + b?

GABARITO:

(E) 11

RESOLUÇÃO:

Se AD = BC = x e AB = CD = y, temos que a área do triângulo , logo,  Assim,  

Temos também que a área do triângulo AQD é 2: , logo,  e

Assim, a área do triângulo PCQ é 

Usando-se as igualdades já encontradas,

Desenvolvendo-se, (xy)² - 26xy + 48 = O. Essa última equação tem como raízes .

Como xy é a área do quadrilátero ABCD, a única raiz que interessa é xy = 24; logo, a área do triângulo APQ é igual a 24 - (6 + 5 + 2) = 11.

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Dois reservatórios, ligados por um fino tubo em sua parte inferior, contêm o mesmo volume de água, com diferentes alturas, conforme mostrado na Figura 1.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas OBMEP 2022 com Gabarito e Resolução