Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio q(x) = x¹⁰ – 1 por p(x) e encontre todas as raízes complexas

Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio q(x) = x¹⁰ – 1 por p(x) e encontre todas as raízes complexas

ITA 2023 - QUESTÃO 04

Considere o polinômio p(x) = x⁴ – x³ + x² – x + 1.

Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio q(x) = x¹⁰ – 1 por p(x) e encontre todas as raízes complexas de p(x).

QUESTÃO ANTERIOR:

- Determine o conjunto solução da inequação

GABARITO:

O quociente é x⁶ + x⁵ – x – 1 e o resto é zero.

As raízes complexas de p(x) são z0, z1, z3 e z4 acima apresentadas.

RESOLUÇÃO:

p(x) = x⁴ – x³ + x² – x + 1 = 1 – x + x² – x³ + x⁴

e, portanto, p(x) é a soma dos termos da

PG (1, –x, x², –x³, x⁴).

Assim, temos:

Fatorando q(x), temos:

q(x) = x¹⁰ – 1 = (x⁵ – 1) . (x⁵ + 1)

Dividindo q(x) por p(x), temos:

O quociente da divisão é x⁶ + x⁵ – 1x – 1 e o resto é zero.

Como p(x) . (x + 1) = x⁵ + 1, as raízes complexas de p(x) são as raízes quintas de –1, exceto o –1 do fator x + 1.

As raízes quintas de 

–1 = 1 . (cos 180° + i . sen 180°),

com k ∈ {0, 1, 2, 3, 4} com k ≠ 2, pois

z2 = –1 não é raiz de p(x)

As raízes de p(x) são, portanto

z0 = cos 36° + i . sen 36°

z1 = cos 108° + i . sen 108°

z3 = cos 252° + i . sen 252°

z4 = cos 324° + i . sen 324°

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Sejam A = cos(α) + cos(β) e B = sen(α) – sen(β) com α, β ∈ R. Calcule sen(α – β) em função de A e B, sabendoque A e B não são ambos nulos.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Prova ITA 2023 (2ª Fase) com Gabarito