OBMEP 2023: Em um torneio de tênis, cada jogador foi escalado para jogar contra cada um dos outros jogadores uma única vez

OBMEP 2023: Em um torneio de tênis, cada jogador foi escalado para jogar contra cada um dos outros jogadores uma única vez.

OBMEP 2023: Em um torneio de tênis, cada jogador foi escalado para jogar contra cada um dos outros jogadores uma única vez.

Entretanto, durante o evento, três jogadores desistiram do torneio. Sabemos que cada um dos desistentes jogou duas partidas.

Se o torneio teve exatamente 50 jogos, quantos jogadores começaram o torneio?

(A) 10

(B) 11

(C) 12

(D) 13

(E) 14

RESOLUÇÃO:

Vamos chamar de “permanecentes” os jogadores que foram até o fim do torneio, e “desistentes” os jogadores que desistiram do torneio.

Suponha que há N permanecentes. Esses jogadores jogaram N x (N-1) /2 partidas entre si.

Suponha que os três desistentes jogaram k partidas entre si, com k = 0, 1, 2 ou 3, e, as demais, quando necessário para completar duas partidas cada um, com alguns dos permanecentes. 

Vamos calcular quantas partidas os três desistentes jogaram com os demais jogadores. Se jogaram k partidas entre si, isso dá 2k partidas para a soma de partidas dos desistentes. Como essa soma é 3 x 2 = 6 (cada um jogou duas partidas), eles têm que ter jogado 6 – 2k partidas com os permanecentes. 

Assim, temos: [(N) x (N-1)/2] + 6 – 2k + k = 50, ou seja, N x (N-1)/2 = 44 + k

O lado direito é um número entre 44 + 0 = 44 e 44 + 3 = 47. O lado esquerdo é, para N = 1, 2, 3... igual a: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ... A única possibilidade para N e k, portanto, é N = 10 e k = 1, quando temos 10 x 9/2 = 45 partidas somente entre permanecentes, uma partida entre desistentes (k = 1), e quatro partidas entre algum desistente e algum permanecente (6 – 2 x 1 = 4). No total, temos 45 + 1 + 4 = 50 partidas jogadas.

Logo, o total de jogadores no início do torneio era 10 + 3 = 13.

Podemos também pensar em resolver o problema estimando o número de jogadores permanecentes; esse número não pode ser 11 ou mais, pois, só entre eles, seriam jogados 11 x 10/2 = 55 jogos ou mais, ultrapassando 50. O número de permanecentes também não poderia ter sido 9 ou menos senão, entre eles, seriam jogados 9.8/2 = 36 jogos e, mesmo contando com os jogos dos desistentes, daria menos do que 50 jogos no total. Logo, o número de permanecentes deve ser 10 e, com apenas um jogo entre os desistentes e 4 jogos entre os desistentes e permanecentes, totalizaríamos 50.

GABARITO:

(D) 13

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas 18ª OBMEP 2023 (1ª FASE) com Gabarito