ITA 2019: Na figura, um braço articulado de massa desprezível e de comprimento l tem sua extremidade fixada

ITA 2019: Na figura, um braço articulado de massa desprezível e de comprimento  l  tem sua extremidade fixada a uma corda homogênea de massa...

ITA 2019: Na figura, um braço articulado de massa desprezível e de comprimento l tem sua extremidade fixada a uma corda homogênea de massa m, que o mantém sempre na horizontal.

Nessa mesma extremidade é fixado um fio inextensível, também de massa desprezível, que sustenta um objeto de massa M. Esse dispositivo permite a medida de frequências sonoras pela observação da ressonância entre o som e a corda oscilando em seu modo fundamental.

a) Determine a frequência medida pelo dispositivo em função das massas m e M, do comprimento l, da aceleração da gravidade g e do ângulo θ entre a corda e o braço.

b) Considere esse dispositivo instalado na única boca de um túnel inacabado em cujo interior são geradas ondas sonoras. Determine o comprimento L do túnel, sabendo-se que dois modos consecutivos de vibração do ar são medidos, respectivamente, pela substituição de M pelas massas M1 e M2, com M2 > M1, A resposta deve ser explicitada em função de m, l, θ, g, M1 , M2 e da velocidade do som no ar vs.

QUESTÃO ANTERIOR:
- ITA 2019: Conforme a figura, um veículo espacial, composto de um motor-foguete de massa m1 e carga útil de massa m2, é lançado verticalmente de um planeta esférico e homogêneo de massa M e raio R.

RESOLUÇÃO:
a)
I) Equilíbrio do braço articulado:

Torque nulo em relação à articulação O:
Tyl = T’l ⇒ T sen θ = Mg

Logo:


II) Sendo C o comprimento vibratório e λ o comprimento de onda presente na corda, tem-se:

Da qual:


Mas:


Logo:


III) Fórmula de Taylor:


IV) Substitutindo-se (1) em (2):


Da qual se obtém:


b) O tubo sonoro constituído pelo túnel é aberto em uma extremidade e fechado na extremidade oposta.
Sendo f e f’ as frequências associadas a dois harmônicos de ordem ímpar consecutivos, a diferença f’ – f, com f’ > f, fica determinada por:


Portanto:


Substituindo-se, segue-se que:


Portanto, a expressão de L é:


GABARITO:

PRÓXIMA QUESTÃO:
- ITA 2019: Uma estação espacial, Kepler, estuda um exoplaneta cujo satélite natural tem órbita elíptica de semieixo maior a0 e período T0, sendo d = 32a0 a distância entre a estação e o exoplaneta.