OBMEP 2019: Em um aniversário, todo menino conhece 4 meninas, e cada menina não conhece 5 meninos

OBMEP 2019: Em um aniversário, todo menino conhece 4 meninas, e cada menina não conhece 5 meninos. Qual é o número mínimo de meninas e meninos nesse aniversário?

A) 4
B) 8
C) 18
D) 20
E) 100

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: Um reservatório, inicialmente vazio, é abastecido por duas torneiras de vazões diferentes.

RESOLUÇÃO:
Sejam ℎ o número de meninos e 𝑚 o número de meninas no aniversário. Por um lado, como cada menino conhece 4 meninas, o número de relações de conhecimento é 4 ⋅ ℎ. Por outro lado, como cada menina conhece ℎ − 5 meninos, esse número também é igual é (ℎ − 5) ⋅ 𝑚.

De 4 ⋅ ℎ = (ℎ − 5) ⋅ 𝑚, podemos concluir que ℎ ⋅ (𝑚 − 4) = 5𝑚 . Como o membro direito dessa equação é um múltiplo de 5, segue que ℎ ou 𝑚 −4 é um múltiplo de 5. Não podemos ter ℎ = 5 ou 𝑚 = 4, pois nesses casos a equação não possui solução.

Quando ℎ é múltiplo de 5, os possíveis pares (ℎ, 𝑚) que satisfazem a equação são: (10, 8), (15, 6), (20, 16/3), ... Quando 𝑚 −4 é um múltiplo de 5, os possíveis pares (ℎ, 𝑚) que satisfazem a equação são: (9, 9), (7 , 14), (19/3, 19), ...

Note que, se 𝑚 − 4 ≥ 10 ou ℎ ≥ 15, temos 𝑚 + ℎ ≥ 14 +

> 14 + 5 = 19 ou 𝑚 + ℎ ≥ 4ℎ/(ℎ − 5) + 15 > 4 + 15 = 19. Assim, considerando as soluções (10,8) e (9,9), podemos concluir que 𝑚 +ℎ ≥ 18.

Para exibir um exemplo em que essa soma mínima é atingida, considere uma festa contendo os meninos ℎ1, ℎ2, … , ℎ10 e as meninas 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3, 𝑚4, 𝑚5, 𝑚6, 𝑚7, 𝑚8. Se apenas as pessoas dentro de um dos seguintes grupos { ℎ1, ℎ2, ℎ3, ℎ4, ℎ5, 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3, 𝑚4} e { ℎ6, ℎ7, ℎ8, ℎ9, ℎ10, 𝑚5, 𝑚6, 𝑚7, 𝑚8} se conhecerem, as condições do enunciado serão satisfeitas.

Logo, o número mínimo de pessoas na festa é 18.

GABARITO:
C) 18

PRÓXIMA QUESTÃO:
- mais questões da OBMEP.

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- Questões OBMEP 2019 com Gabarito e Resolução