OBMEP 2019: A figura mostra um pentágono ABCDE tal que AB = 4, BC = 8, CD = 1

OBMEP 2019: A figura mostra um pentágono  ABCDE  tal que  AB  = 4,  BC  = 8,  CD  = 1,  AE  = 4, e os ângulos  ABC ,  BCD  e  EAB  são r...

OBMEP 2019: A figura mostra um pentágono ABCDE tal que AB = 4, BC = 8, CD = 1, AE = 4, e os ângulos ABC, BCD e EAB são retos. O ponto P se move sobre os lados AB e BC. Quantas posições o ponto P pode ocupar sobre os lados AB e BC de modo que o triângulo PDE seja isósceles?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: Qual é a soma dos algarismos do número?

RESOLUÇÃO:

Os triângulos isósceles DEP podem ser divididos em três tipos: 𝑃𝐸 = 𝑃𝐷,𝐷𝑃 = 𝐸𝐷 e 𝐸𝐷 = 𝐸𝑃. Vamos analisar esses casos um a um; vamos também garantir que, em cada caso, não aparecem triângulos equiláteros, de modo que a contagem final será dada pela soma das contagens em cada caso.

Caso 𝑷𝑬 = 𝑷𝑫: Nesse caso P deve estar na mediatriz de DE, conforme a figura à direita. É visualmente claro que aqui temos apenas um triângulo isósceles, mas do ponto de vista matemático isso não é suficiente; devemos mostrar que a mediatriz de DE intersecta a reta BC entre os pontos B e C, ou, equivalentemente, que 𝐶𝑃 < 8.

Para isso, consideremos a figura à esquerda, em que M é o ponto médio de DE e a reta MP é a mediatriz de DE. O segmento MR é base média do triângulo DQE; segue que 𝑀𝑅 = 1,5 e então 𝑀𝑆 = 2,5 (curiosamente, o triângulo MSD é isósceles). Observamos agora que os triângulos SPM e DQE são semelhantes, de vez que são ambos retângulos e seus ângulos em M e D, sendo agudos e tendo seus lados dois a dois perpendiculares, são iguais. Segue que

ou seja,

Logo, 𝑃𝑆 = 1,85 e, então, 𝐶𝑃 = 𝐶𝑆 + 𝑆𝑃 = 3,85 < 8, ou seja, P está de fato no segmento BC.
Observamos finalmente que o triângulo PDE não é equilátero, pois do triângulo retângulo DPC obtemos

𝐷𝑃² = 1² + 𝐶𝑃² < 1 + (3,85)² < 1 + 16 = 17

e, então, 𝐷𝑃 < 5.

Caso 𝑫𝑬 = 𝑫𝑷: Nesse caso P deve estar em uma circunferência de centro D e raio DE. É visualmente claro que temos apenas um triângulo isósceles, conforme a figura à direita. Para mostrar que esse é o caso, observamos que se supormos 𝐷𝑃 = 5 com 𝑃 ∈ 𝐵𝐶, o teorema de Pitátoras aplicado ao triângulo retângulo CPD nos dá

𝐶𝑃² = 5² − 1² = 24, ou seja, 𝐶𝑃 = 2√6 < 8.

Para mostrar que o triângulo DEP não é equilátero vamos usar a figura à esquerda, onde F é o pé da perpendicular traçada por E a BC. Como 𝐶𝐹 = 𝐸𝐹 = 4 e 𝐶𝑃 = 2√6 > 4, temos 𝑃𝐹 = 2√6 −4; o triângulo retângulo EFP nos dá

𝐸𝑃² = 4² +(2√6− 4)² = 56 − 16√6 < 56 −16 × 2,4 = 17,6 < 25

Foi usado que √6 > 2,4 na penúltima desigualdade. Logo, 𝐸𝑃 < 5 e o triângulo DEP não é equilátero.

Caso 𝑬𝑷 = 𝑬𝑫: Nesse caso P deve estar na circunferência de centro E e raio ED. Outra vez, é visualmente claro que temos três soluções, conforme a figura à direita; vamos mostrar que isso realmente acontece.

Subcaso 𝑷 ∈ 𝑩𝑪: Sejam F o pé da perpendicular traçada de E a BC e 𝑃1, 𝑃2 ∈ 𝐵𝐶 tais que 𝐹𝑃1 = 𝐹𝑃2 = 3. Aqui também o teorema de Pitágoras nos mostra que 𝐸𝑃! = 𝐸𝑃2 = 5 e temos os dois triângulos isósceles 𝐸𝐷𝑃1 e 𝐸𝐷𝑃2. Observamos que nenhum deles é equilátero; de fato, o triângulo retângulo 𝐶𝐷𝑃1 nos dá (𝐷𝑃1)² = 1² + 7² = 50, donde 𝐷𝑃1 ≠ 5 e o triângulo retângulo 𝐷𝐶𝑃2 nos dá (𝐷𝑃2)² = 1² + 1² = 2, donde 𝐷𝑃1 ≠ 5.

Desse modo, existem exatamente cinco triângulos isósceles satisfazendo as condições do enunciado.

GABARITO:
E) 5

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Sabendo que as áreas dos triângulos BCQ e QCP da figura são, respectivamente, 6 e 2, qual é a área do retângulo ABCD?

Questão disponível em:
- Questões OBMEP 2019 com Gabarito e Resolução