OBMEP 2019: Sabendo que as áreas dos triângulos BCQ e QCP da figura são, respectivamente, 6 e 2

OBMEP 2019: Sabendo que as áreas dos triângulos BCQ e QCP da figura são, respectivamente, 6 e 2, qual é a área do retângulo ABCD? A) 4...

OBMEP 2019: Sabendo que as áreas dos triângulos BCQ e QCP da figura são, respectivamente, 6 e 2, qual é a área do retângulo ABCD?

A) 48
B) 50
C) 52
D) 54
E) 56

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: A figura mostra um pentágono ABCDE tal que AB = 4, BC = 8, CD = 1, AE = 4, e os ângulos ABC, BCD e EAB são retos.

RESOLUÇÃO:

A medidas dos segmentos BC e CP são denotadas, respectivamente, por 𝑎 e 𝑏, e 𝑥 e 𝑦 denotam as medidas das alturas dos triângulos PQC e ABQ, respectivamente. A área do triângulo BCP é 8, assimportanto 𝑏 = 16/𝑎. Além disso, temos as relações:



Por outro lado, os triângulos ABQ e PQC são semelhantes (por terem seus ângulos internos iguais) com razão de semelhança, o que implica na igualdade
á𝑟𝑒𝑎(𝐴𝐵𝑄) = 9 × á𝑟𝑒𝑎(𝑃𝑄𝐶) = 18.

Portanto, á𝑟𝑒𝑎(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 2 × (18 +6) = 48.

GABARITO:
A) 48

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: O quadrado ABCD tem 8 cm de lado. O ponto P, no interior do quadrado, é tal que a área do triângulo APD é o dobro da área do triângulo ABP.

Questão disponível em:
- Questões OBMEP 2019 com Gabarito e Resolução