OBMEP 2019: Quatro cartões, cada um deles com um número inteiro positivo

OBMEP 2019: Quatro cartões, cada um deles com um número inteiro positivo, são tais que toda vez que somamos os números de três deles obtemos...

OBMEP 2019: Quatro cartões, cada um deles com um número inteiro positivo, são tais que toda vez que somamos os números de três deles obtemos um número igual ou maior do que 24. Considere as seguintes afirmações:

I) Todos os números são iguais ou maiores do que 8.

II) Existem dois números cuja soma é igual ou maior do que 16.

III) Existem dois números cujo produto é igual ou maior do que 64.

Quais afirmações são necessariamente verdadeiras?

A) somente I e II
B) somente I e III
C) somente II e III
D) somente II
E) I, II e III

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: O quadrado ABCD tem 8 cm de lado. O ponto P, no interior do quadrado, é tal que a área do triângulo APD é o dobro da área do triângulo ABP.

RESOLUÇÃO:
A afirmação I é falsa, pois, por exemplo, os cartões com os números 1, 1, 22 e 22 satisfazem o enunciado e nem todos são iguais ou maiores do que 8.

A afirmação II é verdadeira. Para ver isso, sejam a, b, c e d os números nos cartões. Sabemos que

a + b + c ≥ 24
a + b + d ≥ 24
a + c + d ≥ 24
b + c + d ≥ 24

Da primeira igualdade, podemos inferir que ou a ≥ 8 ou b ≥ 8 ou c ≥ 8. Sem perda de generalidade, suponhamos a ≥ 8. Analisemos agora a última das quatro equações acima; pelo mesmo motivo, um dos três números, b, c ou d, deve ser igual ou maior do que 8, digamos que b ≥ 8, novamente sem perda de generalidade.

Logo, a + b ≥ 16. A afirmação III é verdadeira. Escolhendo a e b como acima, concluímos que a x b ≥ 64.

GABARITO:
C) somente II e III

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: As 6 cadeiras de uma fila são numeradas de 1 a 6 e devem ser ocupadas uma de cada vez de modo que, sempre que possível, é escolhida uma cadeira sem vizinhas ocupadas.

Questão disponível em:
- Questões OBMEP 2019 com Gabarito e Resolução