OBMEP 2019: O quadrado ABCD tem 8 cm de lado

OBMEP 2019: O quadrado ABCD tem 8 cm de lado. O ponto P, no interior do quadrado, é tal que a área do triângulo APD é o dobro da área d...

OBMEP 2019: O quadrado ABCD tem 8 cm de lado. O ponto P, no interior do quadrado, é tal que a área do triângulo APD é o dobro da área do triângulo ABP. Seja x a distância, em centímetros, do ponto P ao lado AB. Qual é o gráfico da área da região destacada em cinza em função de x?

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: Sabendo que as áreas dos triângulos BCQ e QCP da figura são, respectivamente, 6 e 2, qual é a área do retângulo ABCD?

RESOLUÇÃO:
A área do triângulo ABP em função de x é igual apois sua base AB mede 8 cm, e a altura relativa a essa base é exatamente a distância do ponto P a essa base, ou seja, x. A área do triângulo APD é o dobro, isto é, 8x.

Portanto, a área da região destacada em cinza é igual à área do quadrado subtraída das áreas desses dois triângulos, ou seja, igual a 8² - (4x + 8x) = 64 - 12x.

O valor de x varia entre 0, quando P coincide com o vértice A, e 4, quando P coincide com o ponto médio do lado BC (lembremos que o ponto P deve permanecer no interior do quadrado, conforme nos diz o enunciado).

Se y é área da região cinza, então y = 64 - 12x para x real e 0 ≤ x ≤ 4, e o gráfico de y em função de x é um segmento de reta, conforme figura abaixo.

GABARITO:



PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Quatro cartões, cada um deles com um número inteiro positivo, são tais que toda vez que somamos os números de três deles obtemos um número igual ou maior do que 24. Considere as seguintes afirmações

Questão disponível em:
- Questões OBMEP 2019 com Gabarito e Resolução