OBMEP 2019: A rã Zinza quer ir da pedra 1 até a pedra 10 em cinco pulos

OBMEP 2019: A rã Zinza quer ir da pedra 1 até a pedra 10 em cinco pulos, pulando de uma pedra para a seguinte ou por cima de uma ou de duas ...

OBMEP 2019: A rã Zinza quer ir da pedra 1 até a pedra 10 em cinco pulos, pulando de uma pedra para a seguinte ou por cima de uma ou de duas pedras. De quantas maneiras diferentes Zinza pode fazer isso?

A) 10
B) 35
C) 45
D) 84
E) 126

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: As 6 cadeiras de uma fila são numeradas de 1 a 6 e devem ser ocupadas uma de cada vez de modo que, sempre que possível, é escolhida uma cadeira sem vizinhas ocupadas.

RESOLUÇÃO:
Na ida da pedra 1 até a pedra 10, a rã tem que transpor 9 espaços entre pedras consecutivas. Em cada salto, a rã pode percorrer 1, 2 ou 3 espaços. Se chamarmos de x, y e z o número de saltos em que a rã percorre 1, 2 ou 3 espaços, respectivamente, temos

x + y + z = 5 (já que a rã anda 5 pulos)
x + 2y + 3z = 9 (já que são 9 espaços a percorrer)

Subtraindo as duas equações, encontramos y + 2z = 4. A tabela abaixo dá os possíveis valores de x, y e z e o número de possibilidades em cada caso.

Logo, o número total de possibilidades para os saltos da rã é 5 + 30 + 10 = 45.

GABARITO:
C) 45

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Uma formiga caminha pela grade abaixo, podendo se mover apenas para a direita ou para cima. Se tiver duas opções para se mover, ela escolhe uma ao acaso, com probabilidade 1/2. Qual é a probabilidade de que a formiga comece no ponto A e termine no ponto B?

Questão disponível em:
- Questões OBMEP 2019 com Gabarito e Resolução